Question

У геометричній прогресії (bn) bn = 6,q = 0,5, Sn = 90. Знайдіть b1, n​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\b_{n} =6\\\\q=0,5\\\\S_{n} =90\\\\b_{1} =? \ \ ; \ \ n=?\\\\\\S_{n} =\frac{b_{n} q-b_{1} }{q-1} \\\\\\90=\frac{6\cdot 0,5-b_{1} }{0,5-1} \\\\\\90=\frac{3-b_{1} }{-0,5} \\\\\\-45=3-b_{1} \\\\\\\boxed{b_{1} =48}\\\\\\b_{n} =b_{1} \cdot q^{n-1}\\\\\\6=48\cdot 0,5^{n-1}\\\\\\\Big(\frac{1}{2} \Big)^{n-1} =6:48\\\\\\\Big(\frac{1}{2} \Big)^{n-1} =\Big(\frac{1}{2} \Big)^{3} \\\\\\n-1=3 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \boxed{n=4}} }$

Answer 2

У геометричній прогресії (ГП) кожен член послідовності отримується множенням попереднього на фіксований дільник, який називається знаменником прогресії. Якщо ми позначимо перший член ГП як \(b_1\), а знаменник як \(q\), то інші члени послідовності можна обчислити за формулою:

\[b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\]

У вашому випадку вам дані наступні значення:

\[b_n = 6, \quad q = 0.5, \quad S_n = 90\]

Де \(S_n\) - сума перших \(n\) членів ГП, яку ми можемо обчислити за формулою:

\[S_n = b_1 \cdot \frac{(q^n - 1)}{(q - 1)}\]

Ми хочемо знайти значення \(b_1\) та \(n\).

1. Знайдемо n: Виразимо \(n\) з формули для суми ГП:

\[90 = b_1 \cdot \frac{(0.5^n - 1)}{(0.5 - 1)}\]

Спростимо вираз:

\[90 = b_1 \cdot \frac{(1 - 0.5^n)}{0.5}\]

Помножимо обидві сторони на 0.5:

\[45 = b_1 \cdot (1 - 0.5^n)\]

Розділімо обидві сторони на \(b_1\):

\[45/b_1 = 1 - 0.5^n\]

Після цього розв'яжемо рівняння відносно \(n\).

2. Знайдемо \(b_1\): Підставимо значення \(n\) у формулу ГП:

\[6 = b_1 \cdot 0.5^{(n-1)}\]

Після визначення \(n\) можна знайти \(b_1\).

Інструкції вище намагаються вам надати загальні кроки для вирішення даної задачі. Якщо ви маєте конкретні значення для \(n\), ви можете підставити їх у відповідні місця у формулах, щоб знайти \(b_1\) і навпаки.