Question

Розв'язати рівняння 0.5^x+2^(x+3)=6

Answer 1

Ответ:

Найдем решение уравнения 0.5^x + 2^(x+3) = 6.

Для начала, преобразуем выражение 2^(x+3) к виду 8*2^x:

0.5^x + 8*2^x = 6

Заметим, что 0.5 = 2^(-1), тогда можно записать уравнение в следующем виде:

2^(-x) + 8*2^x = 6

Перенесем член 8*2^x в левую часть и приведем подобные слагаемые:

2^(-x) - 6*2^x = -8

Теперь можно привести обе части уравнения к общему знаменателю:

2^(-x)*2^(3x) - 6*2^(2x) = -8*2^(3x)

2^(2x) - 6*2^(x) - 8*2^(3x) = 0

Заменим 2^x на y:

y^2 - 6y - 8 = 0

Теперь полученное квадратное уравнение можно решить стандартным способом, используя формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4*1*(-8) = 100

y1 = (6 - 10) / 2 = -2

y2 = (6 + 10) / 2 = 8

Так как мы заменили 2^x на y, то заменим его обратно:

2^x = -2 или 2^x = 8

Первое уравнение не имеет решений, так как возведение 2 в степень дает всегда положительное число. Второе уравнение можно решить, взяв логарифм от обеих частей:

x*log(2) = log(8)

x = log(8) / log(2) = 3

Таким образом, решением исходного уравнения является x = 3.

Пояснение: в данном уравнении мы использовали различные законы алгебры и свойства степеней и логарифмов для приведения выражения к удобному для решения виду. Затем мы применили формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения и перешли обратно к исходным переменным.

Answer 2

Давайте розв'яжемо дане рівняння:

\[0.5^x + 2^{x+3} = 6.\]

Спростимо праву частину:

\[2^{x+3} = 2^3 \cdot 2^x = 8 \cdot 2^x.\]

Підставимо це у рівняння:

\[0.5^x + 8 \cdot 2^x = 6.\]

Тепер давайте виразимо \(0.5\) та \(2\) у вигляді однієї бази, наприклад, у вигляді степені числа \(2\):

\[2^{-1} + 2^3 \cdot 2^x = 6.\]

Тепер об'єднаємо дві степені числа \(2\):

\[2^{-1} + 2^{3+x} = 6.\]

Перепишемо рівняння, використовуючи спільний знаменник:

\[\frac{1}{2} + 2^{3+x} = 6.\]

Тепер віднімемо \(\frac{1}{2}\) з обох боків рівняння:

\[2^{3+x} = \frac{11}{2}.\]

Тепер виразимо \(2^{3+x}\) у вигляді \(2^k\), де \(k\) - будь-яке число:

\[3+x = k.\]

Тепер підставимо назад у рівняння:

\[2^k = \frac{11}{2}.\]

Так як \(2^3 = 8 < 11/2\) та \(2^4 = 16 > 11/2\), ми можемо взяти \(k = 4\).

Отже,

\[3 + x = 4,\]

звідки \(x = 1\).

Отже, рівняння \(0.5^x + 2^{x+3} = 6\) має розв'язок \(x = 1\).