Question

1. Проверьте, что: сос 115º - cos 35° + cos 65° + cos 25° = sin 5°​

Answer 1

Ответ:

Вот правильный ответ...

Answer 2

Для решения данного математического выражения с тригонометрическими функциями, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы упростить выражение.

Исходное уравнение: \[ \cos 115° - \cos 35° + \cos 65° + \cos 25° = \sin 5° \]

Давайте воспользуемся формулой разности для косинуса: \[ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \]

Теперь выражение выглядит так: \[ \cos(115° - 35°) + \cos 65° + \cos 25° = \sin 5° \]

Выразим \(\cos(115° - 35°)\) используя формулу разности: \[ \cos(80°) + \cos 65° + \cos 25° = \sin 5° \]

Теперь сложим все косинусы: \[ \cos 80° + \cos 65° + \cos 25° = \sin 5° \]

Теперь мы можем воспользоваться известным тригонометрическим тождеством: \[ \cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A + B}{2}\right) \cos \left(\frac{A - B}{2}\right) \]

Применяем тождество для \(A = 80°\) и \(B = 65°\): \[ 2 \cos \left(\frac{80° + 65°}{2}\right) \cos \left(\frac{80° - 65°}{2}\right) + \cos 25° = \sin 5° \]

Вычисляем значения в скобках: \[ 2 \cos \left(\frac{145°}{2}\right) \cos \left(\frac{15°}{2}\right) + \cos 25° = \sin 5° \]

Теперь можем продолжить раскрывать косинусы и считать: \[ 2 \cos 72.5° \cos 7.5° + \cos 25° = \sin 5° \]

Теперь можем использовать формулу разности для косинуса второй раз: \[ 2 \sin 82.5° \cos 7.5° + \cos 25° = \sin 5° \]

Теперь у нас есть сумма косинуса и произведение синуса и косинуса. Продолжим упрощать и подставлять значения: \[ 2 \sin 82.5° \cdot \cos 7.5° + \cos 25° = \sin 5° \]

Теперь можем выразить синус 82.5° через косинус: \[ 2 \cos 7.5° \cdot \cos 7.5° + \cos 25° = \sin 5° \]

Теперь у нас есть сумма произведений косинусов. Можем воспользоваться формулой двойного угла для косинуса: \[ \cos 15° + \cos 25° = \sin 5° \]

Теперь осталось выразить косинус 15° через синус: \[ \cos 25° - \sin 25° = \sin 5° \]

Таким образом, данное тригонометрическое уравнение сводится к следующему: \[ \sin 25° = \sin 5° \]

Так как синус - это отношение противоположенного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, и у нас углы меньше 90 градусов, то синус 25° и синус 5° равны между собой.

Таким образом, исходное уравнение выполняется: \[ \sin 25° = \sin 5° \]