Question

100 баллов. . Функцію задано формулою f(x)=x²+2х-8. 1) Знайдіть проміжок зростання функції f(x). 2) Розв'яжіть нерівність х²+2x < 8.

Answer 1

Ответ:

сподіваюсь допоміг, успіхів

Answer 2

1) Щоб знайти проміжок зростання функції f(x), необхідно з'ясувати, при яких значеннях x функція f(x) буде зростати.

Почнемо з того, що знайдемо точки, в яких похідна функції f(x) дорівнює нулю або не існує. Похідна функції f(x) буде рівна:

f'(x) = 2x + 2.

Щоб знайти точки, в яких похідна дорівнює нулю, вирішимо рівняння 2x + 2 = 0:

2x + 2 = 0 2x = -2 x = -1.

Тому x = -1 є єдиним значенням, в якому похідна функції f(x) дорівнює нулю.

Тепер проаналізуємо інтервали на числовій прямій. Візьмемо довільне значення x з кожного інтервалу та підставимо його у похідну функції f(x):

1) Якщо x < -1, то f'(x) = (2x + 2) < 0. Тобто, на інтервалі (-∞, -1) функція f(x) буде спадати.

2) Якщо x > -1, то f'(x) = (2x + 2) > 0. Тобто, на інтервалі (-1, +∞) функція f(x) буде зростати.

Отже, проміжок зростання функції f(x) - це інтервал (-1, +∞).

2) Для розв'язання нерівності х² + 2x < 8, спочатку перенесемо все вирази до одного боку та отримаємо квадратне рівняння:

x² + 2x - 8 < 0.

Можемо знайти корені цього рівняння, розв'язуючи його як рівняння-рівність:

x² + 2x - 8 = 0.

Факторизуємо це рівняння:

(x + 4)(x - 2) = 0.

Отримали два корені: x = -4 та x = 2.

Тепер проаналізуємо кожен інтервал на числовій прямій і визначимо, для яких значень x нерівність виконується:

1) Якщо x < -4, то підставимо в вихідну нерівність, наприклад x = -5:

(-5)² + 2(-5) - 8 < 0 25 - 10 - 8 < 0 7 < 0,

і отримуємо невірну нерівність.

2) Якщо -4 < x < 2, то підставимо, наприклад, x = 0:

0² + 2(0) - 8 < 0 -8 < 0,

і отримуємо вірну нерівність.

3) Якщо x > 2, то підставимо, наприклад, x = 3:

3² + 2(3) - 8 < 0 9 + 6 - 8 < 0 7 < 0,

і отримуємо невірну нерівність.

Отже, розв'язком даної нерівності є проміжок (-4, 2).