Question

Контрольна робота «Квадратні рівняння. Теорема Вієта» 1. (4 балів) Розв’яжіть квадратні рівняння: 1 х2 + 5х + 6 = 0 2 х2 - 4х + 4 = 0 3 х - 2х2 = 0 4 5х2 - 6х + 1 = 0 2. (2 бали) Розв’яжіть рівняння -2х(1 - х) + 3 (х - 4) = -х (х + 2) –6х. 3. (2 бали) Складіть квадратне рівняння, корені якого дорівнюють -1 і 3. 4. (2 бали) Один з коренів рівняння х2 - 6 х + с = 0 дорівнює -2. Знайдіть вільний член і другий корінь цього рівняння 5. (2 бали) Знайти довжину сторін прямокутника, периметр якого дорівнює 42 см, а площа 108 см2 .

Answer 1

Ответ:

${x}^{2} + 5x + 6 = 0 \\ x1 + x2 = - 5 \\ x1 \times x2 = 6 \\ x1 = - 3 \: \: \: \: \: x2 = - 2$

${x}^{2} - 4x + 4= 0 \\ x1 + x2 = 4 \\ x1 \times x2 = 4 \\ \\ {(x - 2)}^{2} = 0 \\ x = 4$

$x - 2 {x}^{2} = 0 \\ x(1 - 2x) = 0 \\ x1 = 0 \: \: \: \: \: x2 = 0.5$

$- 2x(1 - x) + 3(x - 4) = - x(x + 2) - 6x \\ - 2x + 2 {x}^{2} + 3x - 12 = - {x}^{2} - 2x - 6x \\ 3 {x}^{2} + 9x - 12 = 0 \\ {x}^{2} + 3x - 4 = 0 \\ \\ x1 + x2 = - 3 \\ x \times x2 = - 4 \\ x1 = - 4 \: \: \: \: \: x2 = 1$

$(x + 1)(x - 3) = 0 \\ {x}^{2} - 2x - 3 = 0$

${x}^{2} - 6x + c = 0 \\ x1 + x2 = 6 \\ x1 \times x2 = c$

Якщо один з коренів рівняння х2 - 6 х + с = 0 дорівнює -2, то інший корінь дорівнює 6 - (-2) = 8 (за формулою суми коренів). Тоді добуток коренів дорівнює (-2) * 8 = -16 (за формулою добутку коренів). Враховуючи, що дискримінант рівняння дорівнює D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4*1*c = 36 - 4c, маємо:

D = (-2) * 8 = 36 - 4c

4c = 52

c = 13

Отже, вільний член рівняння дорівнює 13, а другий корінь -8 (за формулою добутку коренів). Рівняння має вигляд x^2 - 6x + 13 = 0.

P = 2(a+b) = 42

S = a*b = 108

a+b = 21

a*b = 108

a = 21-b

b²-21b+108=0

b1+b2 = 21

b1*b2 = 108

b1 = 9

b2 = 12

Answer 2

Задача 1: Розв'язання квадратних рівнянь

1. Розв'язання рівняння 1х^2 + 5х + 6 = 0:

Квадратне рівняння має вигляд ax^2 + bx + c = 0.

У цьому випадку, a = 1, b = 5, c = 6.

Для розв'язання квадратного рівняння, ми можемо скористатись формулою Вієта:

x1 + x2 = -b/a x1 * x2 = c/a

Застосуємо ці формули до рівняння 1х^2 + 5х + 6 = 0:

x1 + x2 = -5/1 = -5 x1 * x2 = 6/1 = 6

Тепер знайдемо значення x1 та x2, використовуючи ці два рівняння:

x1 + x2 = -5 x1 * x2 = 6

Знайдемо два числа, які сума дає -5 та добуток дає 6. Ці числа є -2 та -3.

Таким чином, розв'язками квадратного рівняння 1х^2 + 5х + 6 = 0 є x1 = -2 та x2 = -3.

2. Розв'язання рівняння -2х(1 - х) + 3(х - 4) = -х + (х + 2) - 6х:

Спочатку розкриємо дужки в цьому рівнянні:

-2х + 2х^2 + 3х - 12 = -х + х + 2 - 6х

Послідовно зберемо всі одночлени на одній стороні рівняння:

2х^2 - 2х - 12 = 2 - 6х

Зведемо все до квадратного рівняння:

2х^2 - 6х + 2х - 12 - 2 + 6х = 0

2х^2 - 12 = 0

Це є квадратне рівняння з коефіцієнтами a = 2, b = -6 та c = -12.

Для його розв'язання, ми можемо використати формулу Вієта:

x1 + x2 = -b/a x1 * x2 = c/a

Застосуємо ці формули до рівняння 2х^2 - 12 = 0:

x1 + x2 = 6/2 = 3 x1 * x2 = -12/2 = -6

Тепер знайдемо значення x1 та x2, використовуючи ці два рівняння:

x1 + x2 = 3 x1 * x2 = -6

Знайдемо два числа, які сума дає 3 та добуток дає -6. Ці числа є 6 та -1.

Таким чином, розв'язками рівняння -2х(1 - х) + 3(х - 4) = -х + (х + 2) - 6х є x1 = 6 та x2 = -1.

3. Складання квадратного рівняння з коренями -1 і 3:

Квадратне рівняння з коренями х1 і х2 має вигляд (х - х1)(х - х2) = 0.

У цьому випадку, х1 = -1 і х2 = 3.

Тоді квадратне рівняння буде мати вигляд (х + 1)(х - 3) = 0.

Розкривши дужки, отримаємо х^2 - 2х - 3 = 0.

Таким чином, квадратне рівняння з коренями -1 і 3 є х^2 - 2х - 3 = 0.

4. Знайдення вільного члена і другого кореня рівняння х^2 - 6х + с = 0, який має один корінь -2:

Квадратне рівняння х^2 - 6х + с = 0 має один корінь -2.

Застосуємо формулу Вієта:

x1 + x2 = -b/a x1 * x2 = c/a

У цьому випадку, a = 1, b = -6, x1 = -2.

Замінюємо ці значення в формулу Вієта:

-2 + x2 = -(-6)/1 -2 * x2 = c/1

-2 + x2 = 6 -2 * x2 = c

З отриманих рівнянь, ми можемо знайти значення x2:

x2 = 6 + 2 = 8

Таким чином, вільний член цього рівняння дорівнює 8, а другий корінь -2.

5. Знаходження довжини сторін прямокутника, периметр якого дорівнює 42 см, а площа 108 см^2:

Нехай довжина однієї сторони прямокутника буде х, а довжина другої сторони буде у.

За визначенням, периметр прямокутника є сумою довжин усіх його сторін:

2х + 2у = 42

Також, площа прямокутника є добутком його довжини та ширини:

х * у = 108

Ми маємо систему рівнянь, що складається з двох рівнянь:

2х + 2у = 42 х * у = 108

Розв'яжемо цю систему рівнянь для знаходження довжини сторін прямокутника.

За допомогою методу підстановки або методу елімінації, ми можемо знайти значення х та у.

Одним з можливих способів розв'язання є підстановка:

За перше рівняння, можна виразити х:

х = (42 - 2у) / 2

Підставимо це значення х в друге рівняння:

((42 - 2у) / 2) * у = 108

(42 - 2у) * у = 216

42у - 2у^2 = 216

2у^2 - 42у + 216 = 0

Ми можемо розв'язати це квадратне рівняння за допомогою факторизації або формули Вієта. В цьому випадку, ми використаємо формулу Вієта:

y1 + y2 = -b/a y1 * y2 = c/a

У цьому випадку, a = 2, b = -42, c = 216.

Застосуємо ці формули до