Question

2cos²x + 1 = 2√2cos (3π/2 - x)​

Answer 1

2cos²x + 1 = 2√2cos (3π/2 - x)​

2cos²x + 1 = -2√2sinx

2-2sin²x + 1 = -2√2sinx

2sin²x -3 -2√2sinx=0

sinx=√2±√(2+6)/2

а) sinx=√2+√(2+6)/2=(√2+2√2)/6=√2/2

x=(-1)ⁿarcsin(√2/2)+πn; n∈Z

x=(-1)ⁿπ/4+πn; n∈Z

б) sinx=√2-√(2+6)/2=(-√2)/2

x=(-1)ⁿarcsin(-√2/2)+πn; n∈Z

x=(-1)ⁿ⁺¹π/4+πn; n∈Z

Answer 2

Давайте разберем уравнение по частям:

2cos²x + 1 = 2√2cos(3π/2 - x)

Выражение на левой стороне уравнения - это квадрат косинуса угла x, умноженный на 2, а затем прибавлено 1.

На правой стороне у нас функция косинуса, где аргументом является (3π/2 - x). Поскольку в косинусе используется разность углов, мы вычитаем x из 3π/2.

Давайте продолжим решение:

2cos²x + 1 = 2√2cos(3π/2 - x)

Перепишем это уравнение в виде:

2cos²x - 2√2cos(3π/2 - x) + 1 = 0

Это квадратное уравнение с переменной x. Давайте обозначим cos(x) как а, чтобы упростить запись:

2a² - 2√2cos(3π/2 - x) + 1 = 0

Используем подстановку (3π/2 - x):

2a² - 2√2cos(3π/2)cos(x) + 2√2sin(3π/2)sin(x) + 1 = 0

Так как cos(3π/2) = 0 и sin(3π/2) = -1, мы можем упростить это еще больше:

2a² + 2√2sin(x) + 1 = 0

Теперь давайте решим это квадратное уравнение относительно переменной a:

a = (-2√2sin(x) - 1) / (2)

a = -√2sin(x) - 1/2

Мы получили значение a в косинусе. Теперь мы можем применить обратную функцию косинуса, чтобы найти значения x:

cos(x) = -√2sin(x) - 1/2

x = cos^(-1)(-√2sin(x) - 1/2)

Таким образом, получаем, что x равно обратной функции косинуса от (-√2sin(x) - 1/2).