Question

Найти экстремумы функции y=2x^3-3x^2-36x+5​

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции \(y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 5\), нужно найти её производную и приравнять её к нулю. Экстремумы происходят в точках, где производная равна нулю или не существует. Давайте выполним эти шаги:

1. Найдем производную функции \(y\):

\[y' = 6x^2 - 6x - 36.\]

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[6x^2 - 6x - 36 = 0.\]

3. Решим квадратное уравнение. Для удобства можно поделить все коэффициенты на 6:

\[x^2 - x - 6 = 0.\]

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта или факторизации. Формула дискриминанта \(D\) для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) такая: \(D = b^2 - 4ac\).

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.\]

Факторизация:

\[(x - 3)(x + 2) = 0.\]

Таким образом, у нас два корня: \(x = 3\) и \(x = -2\).

4. Теперь, найдем значения \(y\) в этих точках. Подставим \(x = 3\) и \(x = -2\) в исходную функцию:

\[y(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 36(3) + 5.\]

\[y(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 36(-2) + 5.\]

Рассчитаем значения и получим точки, в которых функция может иметь экстремумы.

5. Проверим также значения производной в точках \(x = 3\) и \(x = -2\):

\[y'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 36.\]

\[y'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 36.\]

Рассчитаем значения производной в этих точках.

Если \(y'(3) = 0\) или \(y'(-2) = 0\), то это могут быть точки экстремума.

6. Проверим вторую производную в этих точках. Если \(y''(3) > 0\), то это точка минимума. Если \(y''(3) < 0\), то это точка максимума. Аналогично для точки \(x = -2\).

Таким образом, проведенный анализ позволяет определить, есть ли экстремумы и их характер в точках \(x = 3\) и \(x = -2\).