Question

Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізкуy=x+sin²x [0; П]​

Answer 1

y(0)=0
y(П)=П
y'=1+2sinxcosx=1+sin2x
y'=0
sin2x=-1
2x=3п/2
x=3П/4
y(3П/4)=3п/4+1/2=(3П+2)/4
(3П+2)/4-П=(3П+2-4П)/4=(2-П)/4<0
y(0)=0 точка минимума
y(П)=П точка максимума

Answer 2

Щоб знайти найбільше і найменше значення функції \( y = x \cdot \sin^2(x) \) на відрізку \([0, \pi]\), потрібно визначити критичні точки та точки екстремуму на цьому відрізку.

Критичні точки виникають тоді, коли похідна функції дорівнює нулю або не існує. Таким чином, розглянемо похідну функції \( y = x \cdot \sin^2(x) \):

\[ y' = (\sin^2(x) + 2x \sin(x) \cos(x)) \]

Тепер розв'яжемо рівняння \( y' = 0 \) для визначення критичних точок:

\[ \sin^2(x) + 2x \sin(x) \cos(x) = 0 \]

Розв'язуючи це рівняння, можна знайти значення \( x \), які задовольняють цій умові.

Також, перевіримо краї відрізку \([0, \pi]\), тобто значення функції при \( x = 0 \) і \( x = \pi \).

Після знаходження критичних точок і перевірки країв відрізку, знайдемо значення функції в цих точках та оберемо максимальне та мінімальне значення.

Нехай \( x_1, x_2, \ldots, x_k \) - це критичні точки та краї відрізку \([0, \pi]\). Тоді обчислений список значень \( y(x_1), y(x_2), \ldots, y(x_k) \) дозволить вам знайти найбільше та найменше значення функції.

Однак, без конкретних значень критичних точок або додаткових обчислень важко надати конкретний результат. Якщо ви маєте значення критичних точок, можете подати їх, і я допоможу вам продовжити розрахунки.