Question

Указати формулу для обчислення площі S фігури, обмеженої лініями y = x2 і y = x.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

найдем точки пересечения графиков у=х² и у=х

х²=х ; х²-х=0 ; x(x-1)=0 ; x=0 ; x=1 ; y(0)=0; y(1)=1;  (0;0) ; (1;1)

Построим графики

Площадь фигуры заключенной между графикам у=х² и у=х равна разности площади треугольника ОАВ и криволинейного треугольника ОАВ

S=SΔOAB-Sкриволинейного ΔOAB=

            ₁

=(1*1/2)-∫x²dx=0,5-(x³/3)

           ⁰

                  ₁

S=(1/2)-(x³/3)     это формула

                 ⁰

S=(1/2-1/3)=1/6 это значение площади

Answer 2

Фігура, обмежена лініями y = x^2 та y = x, є трикутником. Щоб обчислити площу цієї фігури, ми можемо використати інтегрування.

Перш за все, давайте знайдемо точки перетину цих двох ліній. Поставимо їх рівні один одному:

x^2 = x

Перенесемо все в одну сторону:

x^2 - x = 0

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння. Можемо факторизувати його:

x(x - 1) = 0

Звідси отримуємо дві точки перетину: x = 0 та x = 1.

Тепер, щоб обчислити площу трикутника, нам потрібно інтегрувати функцію y = x^2 - x від x = 0 до x = 1. Формула для обчислення площі трикутника за допомогою інтегралу виглядає наступним чином:

S = ∫[a,b] f(x) dx

де a та b - це межі інтегрування, а f(x) - функція, яку ми інтегруємо.

В нашому випадку, межі інтегрування будуть від x = 0 до x = 1, а функція - y = x^2 - x.

Тому формула для обчислення площі S цієї фігури буде:

S = ∫[0,1] (x^2 - x) dx

Аби обчислити цей інтеграл, спочатку розкладемо функцію на два окремих інтеграла:

S = ∫[0,1] x^2 dx - ∫[0,1] x dx

Перший інтеграл можна обчислити за допомогою формули для обчислення інтегралу степеневої функції:

∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1)

Отже, перший інтеграл від x^2 буде:

∫ x^2 dx = (x^3)/3

А другий інтеграл від x буде:

∫ x dx = (x^2)/2

Тепер підставимо ці значення у формулу для площі:

S = [(x^3)/3]₍₀₎¹ - [(x^2)/2]₍₀₎¹

Підставляючи межі інтегрування, отримуємо:

S = [(1^3)/3] - [(1^2)/2] - [(0^3)/3] + [(0^2)/2]

Спрощуємо це вираження:

S = (1/3) - (1/2) - 0 + 0

S = 1/6

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = x^2 та y = x, дорівнює 1/6.