Question

2cos(x+2)cos(x-2) представить в виде разности или суммы

Answer 1

Формула произведения косинусов:

$\cos\alpha \cos\beta =\dfrac{1}{2} \big(\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta) \big)$

Получим:

$2\cos(x+2)\cos(x-2)=2\cdot\dfrac{1}{2} \big(\cos((x+2)+(x-2))+\cos((x+2)-(x-2)) \big)=$

$=\cos(x+2+x-2)+\cos(x+2-x+2) =\boxed{\cos2x+\cos4}$

Answer 2

Для представления выражения 2cos(x+2)cos(x-2) в виде суммы или разности, мы можем использовать тригонометрические формулы. Одна из таких формул, которую мы можем использовать здесь, называется формулой косинуса суммы:

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

В данном случае, мы можем применить эту формулу, где A = x + 2 и B = -(x - 2):

cos(x + 2)cos(x - 2) = cos(x + 2) * [cos(x)cos(2) - sin(x)sin(2)]

Теперь используем формулу косинуса двойного угла:

cos(2) = cos^2(x) - sin^2(x)

Таким образом, выражение примет следующий вид:

cos(x + 2)cos(x - 2) = cos(x + 2)[cos^2(x) - sin^2(x)] - sin(x + 2)[2sin(x)cos(x)]

Теперь у нас есть разность двух выражений, которые мы можем дополнительно упростить:

cos(x + 2)[cos^2(x) - sin^2(x)] - sin(x + 2)[2sin(x)cos(x)] = cos(x + 2)cos^2(x) - cos(x + 2)sin^2(x) - 2sin(x + 2)sin(x)cos(x)

Теперь мы можем разложить последний член, используя формулу синуса суммы:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

В данном случае, A = x + 2 и B = x:

2sin(x + 2)sin(x)cos(x) = 2[sin(x)cos(x + 2)cos(x) + cos(x)sin(x + 2)sin(x)] = 2sin(x)cos(x + 2)cos(x) + 2cos(x)sin(x + 2)sin(x)

Теперь мы можем объединить все части в одно выражение:

cos(x + 2)cos(x - 2) = cos(x + 2)cos^2(x) - cos(x + 2)sin^2(x) - 2sin(x)cos(x + 2)cos(x) - 2cos(x)sin(x + 2)sin(x)

Теперь это выражение представлено в виде разности и суммы, и его можно дополнительно упростить, если это необходимо.