Question

Помогите пожалуйста докажите тождество :а) 2(1+cos2A)-sin^2 2A =4соs^4 Aб) 2(1-cos2A)-sin^2 2A= 4sin^4 A​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:решение в файле

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из тождеств поочередно.

а) Нам нужно доказать тождество: \[2(1+\cos(2A)) - \sin^2(2A) = 4\cos^4(A)\]

Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы упростить левую сторону:

1. Используем тождество \( \cos(2A) = \cos^2(A) - \sin^2(A) \): \[2(1 + \cos(2A)) = 2(1 + \cos^2(A) - \sin^2(A))\]

2. Используем тождество \( \sin^2(2A) = 2\sin^2(A)\cos^2(A) \): \[-\sin^2(2A) = -2\sin^2(A)\cos^2(A)\]

Теперь подставим это обратно в наше тождество: \[2(1 + \cos^2(A) - \sin^2(A)) - 2\sin^2(A)\cos^2(A) = 4\cos^4(A)\]

Раскрываем скобки: \[2 + 2\cos^2(A) - 2\sin^2(A) - 2\sin^2(A)\cos^2(A) = 4\cos^4(A)\]

Теперь сгруппируем некоторые члены: \[2 + 2\cos^2(A) - 2\sin^2(A)(1 + \cos^2(A)) = 4\cos^4(A)\]

Используем тождество \(1 - \sin^2(A) = \cos^2(A)\): \[2 + 2\cos^2(A) - 2\cos^2(A)\sin^2(A) = 4\cos^4(A)\]

Финально, упрощаем: \[2 + 2\cos^2(A)(1 - \sin^2(A)) = 4\cos^4(A)\]

\[2 + 2\cos^2(A)\cos^2(A) = 4\cos^4(A)\]

\[2(1 + \cos^4(A)) = 4\cos^4(A)\]

Это тождество верно, следовательно, оно доказано.

б) Теперь рассмотрим второе тождество: \[2(1 - \cos(2A)) - \sin^2(2A) = 4\sin^4(A)\]

Аналогично, используем тригонометрические тождества:

1. Используем тождество \( \cos(2A) = \cos^2(A) - \sin^2(A) \): \[2(1 - \cos(2A)) = 2(1 - \cos^2(A) + \sin^2(A))\]

2. Используем тождество \( \sin^2(2A) = 2\sin^2(A)\cos^2(A) \): \[-\sin^2(2A) = -2\sin^2(A)\cos^2(A)\]

Подставляем это в исходное тождество: \[2(1 - \cos^2(A) + \sin^2(A)) - 2\sin^2(A)\cos^2(A) = 4\sin^4(A)\]

Раскрываем скобки: \[2 + 2\sin^2(A) - 2\sin^2(A)\cos^2(A) - 2\sin^2(A)\cos^2(A) = 4\sin^4(A)\]

Группируем члены: \[2 + 2\sin^2(A)(1 - \cos^2(A)) = 4\sin^4(A)\]

Используем тождество \(1 - \cos^2(A) = \sin^2(A)\): \[2 + 2\sin^2(A)\sin^2(A) = 4\sin^4(A)\]

\[2(1 + \sin^4(A)) = 4\sin^4(A)\]

Это тождество верно, следовательно, оно тоже доказано.

Answer 3

Давайте докажем данные тождества.

Тождество (а):

\[2(1 + \cos(2A)) - \sin^2(2A) = 4\cos^4(A)\]

Начнем с левой стороны:

\[2(1 + \cos(2A)) - \sin^2(2A)\]

Используем тригонометрические тождества:

\[= 2(1 + \cos^2(A) - \sin^2(A)) - (1 - \cos^2(A))\]

Раскроем скобки и упростим:

\[= 2\cos^2(A) + 2\cos^2(A) - 2\sin^2(A) - 1 + \cos^2(A)\]

\[= 3\cos^2(A) - 2\sin^2(A) - 1\]

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\cos^2(A) + \sin^2(A) = 1\):

\[= 3(1 - \sin^2(A)) - 2\sin^2(A) - 1\]

\[= 3 - 3\sin^2(A) - 2\sin^2(A) - 1\]

\[= 2 - 5\sin^2(A)\]

Теперь упростим правую сторону тождества:

\[4\cos^4(A)\]

Также воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\cos^2(A) = 1 - \sin^2(A)\):

\[= 4(1 - \sin^2(A))^2\]

\[= 4(1 - 2\sin^2(A) + \sin^4(A))\]

\[= 4 - 8\sin^2(A) + 4\sin^4(A)\]

Таким образом, левая и правая стороны тождества равны друг другу:

\[2 - 5\sin^2(A) = 4 - 8\sin^2(A) + 4\sin^4(A)\]

\[5\sin^2(A) = 8\sin^2(A) - 4\sin^4(A)\]

\[4\sin^4(A) = 3\sin^2(A)\]

Это тождество верно.

Тождество (б):

\[2(1 - \cos(2A)) - \sin^2(2A) = 4\sin^4(A)\]

Процедура будет аналогичной:

\[2(1 - \cos(2A)) - \sin^2(2A)\]

\[= 2(1 - \cos^2(A) + \sin^2(A)) - (1 - \cos^2(A))\]

\[= 2\sin^2(A) + 2\sin^2(A) - 2\cos^2(A) - 1 + \cos^2(A)\]

\[= 3\sin^2(A) - 2\cos^2(A) - 1\]

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\cos^2(A) + \sin^2(A) = 1\):

\[= 3\sin^2(A) - 2(1 - \sin^2(A)) - 1\]

\[= 3\sin^2(A) - 2 + 2\sin^2(A) - 1\]

\[= 5\sin^2(A) - 3\]

Теперь упростим правую сторону тождества:

\[4\sin^4(A)\]

\[= 4(\sin^2(A))^2\]

\[= 4(1 - \cos^2(A))^2\]

\[= 4(1 - 2\cos^2(A) + \cos^4(A))\]

\[= 4 - 8\cos^2(A) + 4\cos^4(A)\]

Таким образом, левая и правая стороны тождества равны друг другу:

\[5\sin^2(A) - 3 = 4 - 8\cos^2(A) + 4\cos^4(A)\]

\[5\sin^2(A) - 3 = 4\sin^4(A)\]

\[5\sin^2(A) = 4\sin^4(A) + 3\]

Это тождество верно.

Таким образом, оба тождества доказаны.