Question

Докажите тождество. (x^ 2 +6x+9)(x^ 3 -9x^ 2 +27x-27)(x+3)=(x^ 2 -9)^ 3

Answer 1

a² - b² = (a - b)(a + b)
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
-----
x³ -9x² +27x-27 = x³ - 3*x²*3 + 3*3²*x - 3³ = (x - 3)³
(x² +6x+9)(x³ -9x² +27x-27)(x+3)=(x + 3)²(x - 3)³(x + 3) = ((x + 3)(x - 3))³ = (x² -9)³ чтд

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую часть данного уравнения по отдельности и докажем, что они равны друг другу.

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

\((x^2 + 6x + 9)(x^3 - 9x^2 + 27x - 27)(x + 3)\)

Чтобы упростить выражение, можно воспользоваться формулой для куба суммы:

\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

Заметим, что \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\) (это является квадратом суммы \(x\) и \(3\)).

Теперь заметим, что \(x^3 - 9x^2 + 27x - 27\) можно переписать как \((x - 3)^3\) (это является кубом разности \(x\) и \(3\)).

Таким образом, левая часть уравнения превращается в:

\((x + 3)^2 \cdot (x - 3)^3 \cdot (x + 3)\)

Сократим два одинаковых множителя \((x + 3)\):

\((x + 3)^2 \cdot (x - 3)^3 \cdot (x + 3) = (x + 3)^3 \cdot (x - 3)^3\)

Теперь используем свойство степени суммы:

\((x + 3)^3 = ((x + 3) - 3)^3 = (x)^3 = x^3\)

Аналогично:

\((x - 3)^3 = ((x - 3) + 3)^3 = (x)^3 = x^3\)

Таким образом, правая часть уравнения \(x^3\).

Теперь давайте посмотрим на правую часть уравнения:

\((x^2 - 9)^3\)

Это является кубом разности \(x^2\) и \(9\):

\((x^2 - 9)^3 = ((x^2)^{\frac{3}{2}} - (9)^{\frac{3}{2}})^2 = (x^3 - 27)^2 = (x^3 - 27) \cdot (x^3 - 27) = x^6 - 54x^3 + 729\)

Известно, что \(x^3 = x^3\). Таким образом, мы доказали, что левая и правая части уравнения равны друг другу:

\((x + 3)^2 \cdot (x - 3)^3 = (x^2 - 9)^3 = x^6 - 54x^3 + 729\)

Поэтому тождество доказано:

\((x^2 + 6x + 9)(x^3 - 9x^2 + 27x - 27)(x + 3) = (x^2 - 9)^3 = x^6 - 54x^3 + 729\)

и

\((x + 3)^2 \cdot (x - 3)^3 = x^6 - 54x^3 + 729\).