Question

Докажите, что число 1• 2...• 1001+1002 •1003...• 2002 делится на 2003

Answer 1

Ответ:

..........................................

Объяснение:

1 · 2 · 3 ·...· 1001 + 1002 · 1003 ·...·2002 =    

=  1 · 2 · 3 ·...· 1001 + 2002 · 2001 ·...·1002=  1 · 2 · 3 ·...· 1001  + (2003 - 1 ) ·

(2003 -2 ) · ...( 2003 - 1001 )

Если  перемножить  все  скобки , то получится  сумма , в  которой  

каждое  слагаемое , кроме  последнего  делится  на  2003 ( каждое  

слагаемое  равно  произведению  степени числа  2003  на  некоторое

число )  ,  а  последнее  слагаемое   равно  - (  1 · 2 · 3 · ...·1001 )  ,  так

как   число  сомножителей   нечётно    оно  взаимно  уничтожится  с

первым  , то  есть    1 · 2 · 3 ·...· 1001  + (2003 - 1 ) · (2003 -2 ) · ...( 2003 -

1001 )  =   1 · 2 · 3 ·...· 1001  + 2003 k -  1 · 2 · 3 ·...· 1001 =  2003 k  ; k ∈ N

так  как  число  2003  входит  в каждое  слагаемое , кроме

последнего  ,  то его можно вынести за скобки , а в скобках  будет  

сумма   натуральных  чисел , которую я  обозначил  числом  k  

это не относится к  решению , просто хочу пояснить , что такое  

число  k   на  примере  трёх   сомножителей  :  

(n -1) ( n-2)( n-3) = n³ - 6n² + 11n  - 6  = n ( n² -6n +11 ) - 6 =

n· k  - 1 · 2 · 3

                                                                                     

Answer 2

Давайте рассмотрим произведение чисел от 1 до 2002 включительно:

\[1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 1001 \cdot 1002 \cdot \ldots \cdot 2002.\]

Теперь рассмотрим произведение чисел от 1003 до 2002:

\[1003 \cdot 1004 \cdot \ldots \cdot 2002.\]

Обратите внимание, что каждый множитель второго произведения также присутствует в первом произведении. Таким образом, можно сократить общие множители и записать произведение в следующем виде:

\[1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 1001 \cdot 1002 \cdot \ldots \cdot 2002 = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 1001) \cdot (1002 \cdot \ldots \cdot 2002).\]

Теперь давайте рассмотрим число \(2003\). Это простое число, так как оно не делится нацело ни на какие другие числа, кроме как на \(1\) и \(2003\).

Теперь важно заметить, что \(2003\) не входит ни в одно из чисел в первом или втором произведении. Это означает, что \(2003\) не сокращает никакие множители в общем произведении.

Таким образом, общее произведение \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 1001 \cdot 1002 \cdot \ldots \cdot 2002\) не делится нацело на \(2003\).