Question

Сумма трех арифметических прогрессий 15, если к ним прибавить числа 1,4,19 то выйдет геометрическая прогрессия.Найдите эти числа

Answer 1

Будем считать, что дана арифметическая прогрессий, сумма трёх первых членов которой равна 15.

Её свойство: an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Запишем сумму по условию для трёх членов.

Пусть первый х.

х + (х + d) + (х + 2d) = 15,

3х + 3d = 15 или, сократив на  3: х + d = 5.

То есть второй член найден и равен 5.

Получили члены арифметической прогрессии:

х, 5, (15 - х - 5) = х, 5, (10 - х).

Теперь используем условие для геометрической прогрессии:

(х + 1), (5 + 4), (10 - х + 19).

(х + 1), 9, (29 - х). Получили 3 члена геометрической прогрессии.

По свойству геометрической прогрессии:

(х + 1) / 9 = 9 / (29 - х).

Решаем эту пропорцию как квадратное уравнение и определяем его 2 корня: х1 = 2 и х2 = 26.

Последнее число не подходит.

Принимаем х = 2 и получаем ответ:

заданные числа равны 2, 5 и 8.

Answer 2

Давайте обозначим сумму трех арифметических прогрессий как \(S_{\text{арифм}}\), а числа, которые нужно прибавить, как \(a_1, a_2, a_3\). Тогда у нас есть следующее:

\[ S_{\text{арифм}} + a_1 + a_2 + a_3 \]

Дано, что эта сумма образует геометрическую прогрессию. Обозначим её как \(S_{\text{геом}}\). Тогда у нас есть:

\[ S_{\text{геом}} = S_{\text{арифм}} + a_1 + a_2 + a_3 \]

Геометрическая прогрессия имеет общий множитель \(r\). Поэтому мы можем записать:

\[ S_{\text{геом}} = (S_{\text{арифм}} + a_1 + a_2 + a_3) \cdot r \]

Теперь давайте выразим сумму арифметических прогрессий через их формулу:

\[ S_{\text{арифм}} = \frac{n_1}{2} \cdot (2a_1 + (n_1-1)d_1) + \frac{n_2}{2} \cdot (2a_2 + (n_2-1)d_2) + \frac{n_3}{2} \cdot (2a_3 + (n_3-1)d_3) \]

где \(n_1, n_2, n_3\) - количество членов в соответствующих прогрессиях, а \(d_1, d_2, d_3\) - шаги прогрессий.

Теперь мы знаем, что:

\[ (S_{\text{арифм}} + a_1 + a_2 + a_3) \cdot r = \frac{n_1}{2} \cdot (2a_1 + (n_1-1)d_1) + \frac{n_2}{2} \cdot (2a_2 + (n_2-1)d_2) + \frac{n_3}{2} \cdot (2a_3 + (n_3-1)d_3) \]

Нам необходима еще одна информация о геометрической прогрессии, чтобы решить это уравнение. Это может быть или общий множитель \(r\) или какое-то другое условие (например, отношение двух последовательных членов геометрической прогрессии).

Если есть дополнительные условия или информация о геометрической прогрессии, пожалуйста, предоставьте их, чтобы мы могли решить уравнение и найти значения \(a_1, a_2, a_3\).