Question

Решите пожалуйста нелинейное трансцендентное уравнение методом Ньютона 2lnx+2x-3=0

Answer 1

Ответ:

2x+2ln(x)=3

Объяснение:

2lnx+2lnx+2x-3=0

2x+2lnx-3=0

2x+2lnx-3+3=0+3

2x+2lnx=0

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение \(2\ln(x) + 2x - 3 = 0\) методом Ньютона. Этот метод требует выбора начального приближения. Давайте начнем с выбора \(x_0 = 1\). Затем мы будем итеративно улучшать наше приближение по формуле Ньютона:

\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]

Где \(f(x) = 2\ln(x) + 2x - 3\) и \(f'(x)\) - производная \(f(x)\). Давайте вычислим производную:

\[ f'(x) = \frac{2}{x} + 2 \]

Теперь приступим к итерациям:

1. \(n = 0\):

\[ x_1 = x_0 - \frac{2\ln(x_0) + 2x_0 - 3}{\frac{2}{x_0} + 2} \]

2. \(n = 1\):

\[ x_2 = x_1 - \frac{2\ln(x_1) + 2x_1 - 3}{\frac{2}{x_1} + 2} \]

И так далее. Мы продолжаем итерации до тех пор, пока разность между последовательными приближениями не станет достаточно малой.

Продолжим вычисления:

\[ x_1 = 1 - \frac{2\ln(1) + 2 \cdot 1 - 3}{\frac{2}{1} + 2} \]

\[ x_1 \approx 1.456 \]

Теперь используем \(x_1\) для следующей итерации:

\[ x_2 \approx 1.456 - \frac{2\ln(1.456) + 2 \cdot 1.456 - 3}{\frac{2}{1.456} + 2} \]

Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не достигнем достаточно точного значения. Этот метод сходится к решению, когда разность между последовательными приближениями становится достаточно малой.

Помните, что метод Ньютона может сойтись к разным корням в зависимости от выбора начального приближения.