Question

Решите уравнение |3х^2+7х|-6=0.

Answer 1

$|3x^2+7x|-6=0$

Раскроем модуль.

Первый случай. Пусть $3x^2+7x\geqslant 0$. Тогда:

$3x\left(x+\dfrac{7}{3} \right)\geqslant 0$

$x\in\left(-\infty;\ -\dfrac{7}{3}\right]\cup\left[0 ;\ +\infty\right)$

Раскрываем модуль при этом условии без смены знака:

$3x^2+7x-6=0$

$D=7^2-4\cdot3\cdot(-6)=49+72=121$

$x_1=\dfrac{-7-\sqrt{121} }{2\cdot3} =\dfrac{-7-11 }{6} =-3$

$x_2=\dfrac{-7+\sqrt{121} }{2\cdot3} =\dfrac{-7+11 }{6} =\dfrac{2}{3}$

Оба корня удовлетворяют условию раскрытия модуля, поэтом они идут в ответ.

Второй случай. Пусть $3x^2+7x$. Соответственно, тогда:

$x\in\left(-\dfrac{7}{3};\ 0\right)$

Раскрываем модуль при этом условии со сменой знака:

$-3x^2-7x-6=0$

$3x^2+7x+6=0$

$D=7^2-4\cdot3\cdot6=49-72$

Поскольку дискриминант отрицательный, то второй случай не дает новых корней.

Таким образом, уравнение имеет только два корня.

Ответ: -3 и 2/3

Answer 2

Давайте решим уравнение \(|3x^2 + 7x| - 6 = 0\).

1. Рассмотрим выражение внутри модуля: \(3x^2 + 7x\). 2. Теперь у нас есть два случая: \(3x^2 + 7x\) и \(-(3x^2 + 7x)\), так как модуль может быть равен положительному или отрицательному значению.

Первый случай: \(3x^2 + 7x\)

\[3x^2 + 7x - 6 = 0\]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где у нас есть \(a = 3\), \(b = 7\), и \(c = -6\). Подставим значения:

\[x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(3)(-6)}}{2(3)}\]

\[x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6}\]

\[x = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{6}\]

\[x = \frac{-7 \pm 11}{6}\]

Таким образом, у нас есть два решения:

a. \(x = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

b. \(x = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3\)

Второй случай: \(-(3x^2 + 7x)\)

\[-(3x^2 + 7x) - 6 = 0\]

Умножим обе стороны на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента:

\[3x^2 + 7x + 6 = 0\]

Теперь решим это уравнение, используя тот же метод:

\[x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(3)(6)}}{2(3)}\]

\[x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 72}}{6}\]

\[x = \frac{-7 \pm \sqrt{-23}}{6}\]

Поскольку дискриминант отрицателен (\(\sqrt{-23}\)), у этого уравнения нет вещественных корней.

Итак, у нас есть два вещественных корня из первого случая:

a. \(x = \frac{2}{3}\)

b. \(x = -3\)

И второй случай не имеет вещественных корней.