Question

Log5 x * (log5 x - 1) = 2​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\ODZ:\\\\x>0\\\\\\\log_{5} x\cdot(\log_{5} x-1)=2\\\\\\\log_{5} ^{2} x-\log_{5} x-2=0\\\\\\\log_{5} x=m\\\\\\m^{2} -m-2=0\\\\\\D=(-1)^{2} -4\cdot(-2)=1+8=9=3^{2} \\\\\\m_{1} =\frac{1-3}{2} =-1\\\\\\m_{2} =\frac{1+3}{2} =2\\\\\\1)\\\\\log_{5} x=-1\\\\\\x_{1} =5^{-1} =\frac{1}{5} =0,2\\\\\\2)\\\\\log_{5} x=2\\\\\\x_{2} =5^{2} =25\\\\\\Otvet:0,2 \ \ ; \ \ 25$

Answer 2

Давайте решим уравнение:

\[ \log_5(x) \cdot (\log_5(x) - 1) = 2 \]

Для упрощения уравнения давайте введем замену переменной. Пусть \( y = \log_5(x) \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y \cdot (y - 1) = 2 \]

Раскроем скобки:

\[ y^2 - y = 2 \]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\[ y^2 - y - 2 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где в данном случае \( a = 1, b = -1, c = -2 \). Формула решения квадратного уравнения имеет вид:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \]

\[ y = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \( y \):

1. \( y = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) 2. \( y = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)

Теперь вернемся к исходной переменной:

1. Для \( y = 2 \): \( \log_5(x) = 2 \) означает, что \( x = 5^2 = 25 \). 2. Для \( y = -1 \): \( \log_5(x) = -1 \) не имеет решения, так как логарифм от положительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение: \( x = 25 \).