Question

Решить дифференциальное уравнение методом Бернулли: 3(xy'+y)=xy^2

Answer 1

Ответ:

Приложение Photomatch пользуйся

Answer 2

Дифференциальное уравнение в форме Бернулли имеет вид:

\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n, \]

где \( n \) - некоторое число, кроме 0 и 1.

В вашем случае уравнение:

\[ 3(xy' + y) = xy^2. \]

Приведем его к форме Бернулли. Разделим обе части на \( 3x \):

\[ y' + \frac{1}{3x}y = \frac{1}{3}y^2. \]

Теперь у нас есть уравнение в форме Бернулли, где \( P(x) = \frac{1}{3x} \) и \( Q(x) = \frac{1}{3} \).

Введем замену \( z = y^{1-n} \), где \( n = 2 \) (по формуле Бернулли). Тогда \( z = \frac{1}{y} \).

Теперь выразим производные:

\[ y' = -\frac{1}{z^2} \cdot z'. \]

Подставим это в уравнение:

\[ -\frac{1}{z^2} \cdot z' + \frac{1}{3x} \cdot \frac{1}{z} = \frac{1}{3} \]

Умножим обе части на \( -z^2 \):

\[ z' - \frac{1}{3x}z^3 = -\frac{1}{3}z^2 \]

Теперь это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Давайте решим его.

\[ z' - \frac{1}{3x}z^3 + \frac{1}{3}z^2 = 0 \]

Решение этого уравнения довольно сложное, и оно включает в себя использование методов линейной алгебры и интегралов. Я могу продолжить, если вы хотите, но уравнение становится достаточно сложным для аналитического решения. Мы могли бы также воспользоваться численными методами для нахождения численного решения уравнения.