Question

В n испытаниях Бернулли наивероятнейшим числом успехов оказались числа к и к+1. Найдите вероятность успеха в одном из этих испытаний Бернулли, если известно, что: n=9, k=7.

Answer 1

Пусть в n испытаниях Бернулли появления некоторого события наивероятнейшее число m₀, тогда m₀ удовлетворяет неравенствам
np-q≤m₀<np+p
где p - вероятность успеха этого события, q=1-p вероятность неуспеха
и если np-q - целое число, то существует два наивероятнейших числа m₀ и  m₀+1 
у нас два наим m₀=k=7 и m₀+1=8 и значит np-q=np-1+p=(n+1)p-1=10p-1 целое число и след 10p-1=7 => p=4/5=0.8, q=1/5=0.2
$P_{9} ^{7}= C_{9} ^{7}*(0.8)^7*(0.2)^2=$36*0.2097*0.04=0.302
$C_{9} ^{7}= \frac{9!}{7!*2!}= \frac{8*9}{2}=36$
хотя намного проще найти
$P_{9}^8=C_{9}^8*(0.8)^8*0.2=$9*0.2*(0.8)^8=0.302
 

Answer 2

Дано: n = 9, k = 7

Используем формулу вероятности успеха в одном из n испытаний Бернулли:

P(успеха) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где C(n, k) - количество сочетаний из n по k, p - вероятность успеха в одном испытании, (1-p) - вероятность неудачи в одном испытании.

Так как нам известно, что наивероятнейшим числом успехов являются числа k и k+1, то для нашего случая k = 7, а k+1 = 8.

Таким образом, нам нужно найти вероятность успеха в одном из 7 или 8 испытаний Бернулли.

Для k = 7: P(успеха) = C(9, 7) * p^7 * (1-p)^(9-7) = 36 * p^7 * (1-p)^2

Для k+1 = 8: P(успеха) = C(9, 8) * p^8 * (1-p)^(9-8) = 9 * p^8 * (1-p)

Таким образом, вероятность успеха в одном из этих испытаний Бернулли равна сумме вероятностей для k = 7 и k+1 = 8:

P(успеха) = 36 * p^7 * (1-p)^2 + 9 * p^8 * (1-p)