Question

Докажите, используя принцип математической индукции, что значение выражения 9^n - 8n - 1 делится на 16 при любом натуральном значении n.

Answer 1

1) Проверим справедливость утверждения при $n=1$:

$9^1 - 8\cdot1 - 1=9-8-1=0\ \vdots\ 16$

2) Предположим, что при $n=k$ утверждение справедливо, то есть:

$(9^k - 8k- 1)\ \vdots\ 16$

3) Докажем, что при $n=k+1$ справедливо утверждение:

$\left(9^{k+1} - 8(k+1)- 1\right)\ \vdots\ 16$

Доказательство. Преобразуем:

$9^{k+1} - 8(k+1)- 1=9\cdot9^k - 8k-8- 1=$

$=(9^k- 8k-1)+8\cdot9^k -8=(9^k- 8k-1)+8(9^k -1)$

Первое слагаемое $9^k- 8k-1$ делится на 16 по предположению, сделанному на втором шаге.

$9^{k+1} - 8(k+1)- 1=\underset{\vdots\ 16}{\underbrace{(9^k- 8k-1)}}+8(9^k -1)$

Рассмотрим второе слагаемое $8(9^k -1)$. Первый множитель 8 делится на 8. Заметим, что второй множитель является четным, так как выражение $9^k$ при $k\in\mathbb{N}$ дает нечетные числа, тогда числа вида $9^k -1$ являются четными. Таким образом, второе слагаемое делится на $8\cdot2=16$.

$9^{k+1} - 8(k+1)- 1=\underset{\vdots\ 16}{\underbrace{(9^k- 8k-1)}}+\underset{\vdots\ 16}{\underbrace{8(9^k -1)}}$

Итак, оба слагаемых делятся на 16. Значит и вся сумма делится на 16. Доказано.

Answer 2

Давайте воспользуемся методом математической индукции для доказательства того, что для любого натурального значения \(n\) выражение \(9^n - 8n - 1\) делится на 16.

Шаг 1: Базовый случай

Для \(n = 1\) проверим, что утверждение верно: \[ 9^1 - 8 \cdot 1 - 1 = 9 - 8 - 1 = 0. \] Это действительно делится на 16, так как 0 делится на любое ненулевое число.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что для некоторого натурального \(k\) выражение \(9^k - 8k - 1\) делится на 16.

Шаг 3: Доказательство для \(k + 1\)

Теперь докажем, что если утверждение верно для \(k\), то оно также верно и для \(k + 1\). Рассмотрим выражение: \[ 9^{k+1} - 8(k+1) - 1. \] Мы можем представить \(9^{k+1}\) как \(9 \cdot 9^k\). Теперь подставим предположение индукции: \[ 9 \cdot (9^k - 8k - 1) - 8(k+1) - 1. \] Раскроем скобки и упростим: \[ 9 \cdot 9^k - 8k - 9 - 8k - 1. \] Теперь объединим подобные члены: \[ 9 \cdot 9^k - 16k - 10. \] Теперь давайте разберемся с членом \(16k\). Мы знаем, что \(9^k - 8k - 1\) делится на 16 (по предположению индукции), следовательно, можно записать \(9^k - 8k - 1 = 16m\) для некоторого целого числа \(m\). Подставим это обратно в наше выражение: \[ 9 \cdot 16m - 10. \] Упростим это: \[ 144m - 10. \] Теперь мы видим, что это выражение имеет остаток 6 при делении на 16. Мы можем представить \(144m - 10\) как \(16(9m - 1) - 6\). Таким образом, оно делится на 16.

Заключение

Мы доказали, что если утверждение верно для \(k\), то оно также верно для \(k + 1\). Также мы показали, что базовый случай (\(n = 1\)) верен. Следовательно, по принципу математической индукции утверждение верно для всех натуральных значений \(n\).

Answer 3

Давайте докажем утверждение по индукции.

1. База индукции: Для n=1: \(9^1 - 8 \cdot 1 - 1 = 0\), что делится на 16.

2. Предположение индукции: Пусть утверждение верно для некоторого k, т.е., \(9^k - 8k - 1\) делится на 16.

3. Шаг индукции: Докажем, что утверждение верно для k+1. \[ 9^{k+1} - 8(k+1) - 1 \]

Разложим \(9^{k+1}\) в произведение: \(9^{k+1} = 9 \cdot 9^k\).

Теперь мы можем переписать выражение: \[ 9 \cdot 9^k - 8k - 8 - 1 \]

Теперь добавим и вычтем \(8 \cdot 9^k\): \[ 9 \cdot 9^k - 8 \cdot 9^k + 8 \cdot 9^k - 8k - 8 - 1 \]

Сгруппируем члены: \[ 8 \cdot 9^k - 8k - 8 + (9 \cdot 9^k - 1) \]

После этого можно применить предположение индукции: \[ 8 \cdot 9^k - 8k - 8 + 16m \] где m - целое число (по предположению индукции).

Теперь, если мы сложим все члены, мы получим выражение, которое делится на 16: \[ 16m + 8 \cdot 9^k - 8k - 8 \]

Таким образом, утверждение индукции подтверждается, и мы можем заключить, что для любого натурального n значение выражения \(9^n - 8n - 1\) делится на 16.