Question

Знайти відстань від точки А(–1;2;3) до площини, що про- ходить через точки В(1;2;1), С(2;–3;4), D(–4;5;1).

Answer 1

Для того чтобы найти расстояние от точки А до плоскости, мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости.

Формула выглядит следующим образом:

d = |(Ax - Bx)*nx + (Ay - By)*ny + (Az - Bz)*nz| / sqrt(nx^2 + ny^2 + nz^2),

где d - расстояние, (Ax, Ay, Az) - координаты точки А, (Bx, By, Bz) - координаты точки на плоскости, nx, ny, nz - координаты вектора нормали плоскости.

В нашем случае, координаты точки А равны (-1, 2, 3), а точки на плоскости В(1, 2, 1), С(2, -3, 4), D(-4, 5, 1). Нам нужно найти координаты вектора нормали плоскости.

Для этого мы можем взять два вектора, AB и AC, и найти их векторное произведение, которое будет являться вектором нормали плоскости.

Вектор AB = (Bx - Ax, By - Ay, Bz - Az) = (1 - (-1), 2 - 2, 1 - 3) = (2, 0, -2), Вектор AC = (Cx - Ax, Cy - Ay, Cz - Az) = (2 - (-1), -3 - 2, 4 - 3) = (3, -5, 1).

Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC:

n = AB x AC = (0*(-5) - (-2)*1, (-2)*3 - 2*1, 2*(-5) - 0*3) = (10, -8, -10).

Теперь найдем расстояние от точки А до плоскости, подставив все значения в формулу:

d = |(-1 - 1)*10 + (2 - 2)*(-8) + (3 - 1)*(-10)| / sqrt(10^2 + (-8)^2 + (-10)^2) = |-20| / sqrt(100 + 64 + 100) = |-20| / sqrt(264) ≈ 20 / 16.247 ≈ 1.2303.

Таким образом, расстояние от точки А(-1, 2, 3) до плоскости, проходящей через точки B(1, 2, 1), C(2, -3, 4), D(-4, 5, 1), составляет примерно 1.2303 единицы.