Question

Дробно рациональноое уравнение x/(x + 2) + (x + 2)/(x - 2) = 8/(x ^ 2 - 4)

Answer 1

Для начала приведем уравнение к общему знаменателю. Умножим первое слагаемое на (x - 2), а второе слагаемое на (x + 2):

x(x - 2)/(x + 2)(x - 2) + (x + 2)(x - 2)/(x + 2)(x - 2) = 8/(x^2 - 4)

После раскрытия скобок получим:

x(x - 2) + (x + 2)(x - 2) = 8

Распишем скобки:

x^2 - 2x + x^2 - 4 = 8

Соберем все слагаемые:

2x^2 - 2x - 4 - 8 = 0

2x^2 - 2x - 12 = 0

Разделим все слагаемые на 2:

x^2 - x - 6 = 0

Теперь постараемся разложить это уравнение на множители:

(x - 3)(x + 2) = 0

Из этого следует, что x = 3 или x = -2.

Проверим оба значения в исходном уравнении:

1. Подставим x = 3:

3/(3 + 2) + (3 + 2)/(3 - 2) = 8/(3^2 - 4)

3/5 + 5/1 = 8/(9 - 4)

3/5 + 5 = 8/5

15/5 + 25/5 = 8/5

40/5 = 8/5

8/5 = 8/5 (верно)

2. Подставим x = -2:

-2/(-2 + 2) + (-2 + 2)/(-2 - 2) = 8/(-2^2 - 4)

-2/0 + 0/-4 = 8/0

Здесь возникает деление на ноль, поэтому x = -2 не является решением исходного уравнения.

Таким образом, решением дробно-рационального уравнения x/(x + 2) + (x + 2)/(x - 2) = 8/(x^2 - 4) является x = 3.

Answer 2

Дано дробно-рациональное уравнение: x/(x + 2) + (x + 2)/(x - 2) = 8/(x^2 - 4)

Для начала приведем уравнение к общему знаменателю: (x(x - 2) + (x + 2)(x + 2))/(x + 2)(x - 2) = 8/(x^2 - 4)

Раскроем скобки: (x^2 - 2x + x^2 + 4x + 4)/(x + 2)(x - 2) = 8/(x^2 - 4)

Сокращаем: (2x^2 + 2x + 4)/(x + 2)(x - 2) = 8/(x^2 - 4)

Умножаем оба выражения на (x + 2)(x - 2), чтобы избавиться от знаменателя: (2x^2 + 2x + 4) = 8

Получаем квадратное уравнение: 2x^2 + 2x + 4 - 8 = 0 2x^2 + 2x - 4 = 0

Делим коэффициенты на 2: x^2 + x - 2 = 0

Решаем квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac D = 1^2 - 4*1*(-2) D = 1 + 8 D = 9

Найдем корни уравнения: x1 = (-b + √D) / 2a x1 = (-1 + √9) / 2*1 x1 = (-1 + 3) / 2 x1 = 2 / 2 x1 = 1

x2 = (-b - √D) / 2a x2 = (-1 - √9) / 2*1 x2 = (-1 - 3) / 2 x2 = -4 / 2 x2 = -2

Итак, уравнение имеет два корня: x1 = 1 и x2 = -2.