Question

Пожалуйста, помогите с решением векторов, буду очень благодарен. Даны точки A(4;3;-2), B(2;2;1), C(-5;2;6), D(4;-4;3). Нужно найти (AB; AC; AD) € П - ? , BC||AB - ? и AC перпендикулярность BD - ?

Answer 1

Ответ:

Даны точки :   $\bf A(4;3;-2)\ ,\ B(2;2;1)\ ,\ C(-5;2;6)\ ,\ D(4;-4;3)$  .

Найдём смешанное произведение векторов .

$\bf \overline{AB}=(-2;-1;3)\ ,\ \ \overline{AC}=(-9;-1;8)\ ,\ \ \overline{AD}=(0;-7;5)$  

$\boldsymbol{(\overline{AB};\overline{AC};\overline{AD})=\left|\begin{array}{ccc}-2&-1&3\\-9&-1&8\\0&-7&5\end{array}\right|=-2(-5+56)+(-45)+3\cdot 63=42\ne 0}$

Так как смешанное произведение не равно 0 , то векторы не лежат в одной плоскости ( не компланарны ) .  

Проверим коллинеарность векторов  $\bf \overline{BC}$  и   $\overline{AB}$  .  Надо проверить пропорциональность координат этих векторов .

$\bf \overline{BC}=(-7;0;5)\ \ ,\ \ \ \dfrac{-7}{-2}\ne \dfrac{0}{-1}\ne \dfrac{5}{3}$        

Векторы не коллинеарны :  $\bf \overline{BC}\nparallel \overline{AB}$   .

Проверим ортогональность (перпендикулярность векторов  $\bf \overline{AC}$  и  $\bf \overline{BD}$  .  Если векторы ортогональны , то их скалярное произведение равно 0 .

$\bf \overline{BD}=(2;-6;2)\ \ ,\ \ \overline{AC}=(-9;-1;8)\\\\\overline{BD}\cdot \overline{}AC=2\cdot (-9)-6\cdot (-1)+2\cdot 8=-18+6+16=4\ne 0$  

Векторы не ортогональны .                    

Answer 2

Конечно, давайте решим вашу задачу.

1. Найдем векторы AB, AC и AD.

Вектор AB = B - A = (2 - 4, 2 - 3, 1 - (-2)) = (-2, -1, 3). Вектор AC = C - A = (-5 - 4, 2 - 3, 6 - (-2)) = (-9, -1, 8). Вектор AD = D - A = (4 - 4, -4 - 3, 3 - (-2)) = (0, -7, 5).

2. Найдем скалярные произведения и векторные произведения.

Скалярное произведение AB и AC: \( (AB \cdot AC) = (-2 \cdot -9) + (-1 \cdot -1) + (3 \cdot 8) = 18 + 1 + 24 = 43 \).

Векторное произведение AB и AC: \( AB \times AC = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -1 & 3 \\ -9 & -1 & 8 \end{matrix} \right| \).

Вычисляем по формуле для определителя: \( AB \times AC = (1 \cdot 8 - (-1) \cdot (-9), -(2 \cdot 8 - 3 \cdot (-9)), -(-2 \cdot (-1) - (-9) \cdot (-2))) \). Получаем: \( AB \times AC = (17, -14, 16) \).

Скалярное произведение BC и AB: \( (BC \cdot AB) = (-7 \cdot -2) + (5 \cdot -1) + (6 \cdot 3) = 14 + (-5) + 18 = 27 \).

Векторное произведение AC и BD: \( AC \times BD = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -9 & -1 & 8 \\ 0 & -7 & 5 \end{matrix} \right| \).

Вычисляем по формуле для определителя: \( AC \times BD = (1 \cdot 5 - (-7) \cdot 8, -(0 \cdot 5 - 8 \cdot (-9)), -(-9 \cdot (-7) - (-1) \cdot 0)) \). Получаем: \( AC \times BD = (61, 72, -56) \).

3. Проверим условия.

- Для векторов AB, AC, AD: \( (AB \cdot AC) = 43 \neq 0 \), поэтому эти векторы не ортогональны. - Для векторов BC и AB: \( (BC \cdot AB) = 27 \neq 0 \), поэтому эти векторы не ортогональны. - Для векторов AC и BD: \( AC \times BD = (61, 72, -56) \neq \mathbf{0} \), поэтому эти векторы не параллельны.

Таким образом, AB и AC не ортогональны, BC и AB не ортогональны, а AC и BD не параллельны.