Question

Заданы четыре точки в пространстве: А(1;3;3),B(-2;5;3,),C(3;0;1),D(3;-2+3;1+0). Найти: 1) длины векторов (AB,) ⃗(CD) ⃗; 2) координаты векторов (AB,) ⃗(AC,) ⃗(AD) ⃗; 3) проверить компланарность векторов (AB,) ⃗(AC,) ⃗(AD) ⃗; 4) уравнения прямых AB и AC; 5) уравнение плоскости ABC; 6) расстояние от точки D до плоскости ABC; 7) угол между векторами (AB) ⃗ и (AC) ⃗ ; 8) уравнение медианы, проведенной из точки A на сторону BCтреугольника ABC; 9) уравнение перпендикуляра, опущенного на сторону AB из точки C треугольника ABC; 10) площадь треугольника ABC; 11) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC; 12) объем пирамиды ABCD и ее высоту, опущенную на основание треугольника ABC

Answer 1

Тршалпоплалалклплплплплп

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый пункт по порядку:

1. Длины векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \): - Вектор \( \overrightarrow{AB} \) = \( \langle x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A \rangle \) \( = \langle -2 - 1, 5 - 3, 3 - 3 \rangle = \langle -3, 2, 0 \rangle \) - Длина \( \overrightarrow{AB} \) = \( \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{13} \)

- Вектор \( \overrightarrow{CD} \) = \( \langle x_D - x_C, y_D - y_C, z_D - z_C \rangle \) \( = \langle 3 - 3, (-2+3) - 0, (1+0) - 1 \rangle = \langle 0, 1, 0 \rangle \) - Длина \( \overrightarrow{CD} \) = \( \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 \)

2. Координаты векторов \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \), \( \overrightarrow{AD} \): - Вектор \( \overrightarrow{AB} \) = \( \langle -3, 2, 0 \rangle \) - Вектор \( \overrightarrow{AC} \) = \( \langle 2, -3, -2 \rangle \) (вычитаем координаты точки A из точки C) - Вектор \( \overrightarrow{AD} \) = \( \langle 2, -5, -2 \rangle \) (вычитаем координаты точки A из точки D)

3. Проверка компланарности векторов \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \), \( \overrightarrow{AD} \): - Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. - \( \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) = 0 \) - Если это равенство выполняется, то векторы компланарны.

4. Уравнения прямых AB и AC: - Уравнение прямой в трехмерном пространстве имеет вид \( \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \). - Уравнение прямой AB: \( \frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 3}{0} \) (поскольку z-координаты совпадают, то здесь 0 в знаменателе). - Уравнение прямой AC: \( \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-3} = \frac{z - 3}{-2} \).

5. Уравнение плоскости ABC: - Уравнение плоскости в трехмерном пространстве имеет вид \( Ax + By + Cz = D \). - Найдем вектор нормали к плоскости ABC, который равен векторному произведению векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \). - Затем уравнение плоскости можно записать, используя координаты одной из точек (A, B или C).

6. Расстояние от точки D до плоскости ABC: - Расстояние \( d \) от точки \( (x_0, y_0, z_0) \) до плоскости \( Ax + By + Cz = D \) вычисляется по формуле \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 - D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \).

7. Угол между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \): - Угол \( \theta \) между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \) можно найти по формуле \( \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} \).

8. Уравнение медианы, проведенной из точки A на сторону BC треугольника ABC: - Медиана делит сторону пополам, поэтому координаты ее конечной точки будут равны среднему арифметическому координат точек B и C.

9. Уравнение перпендикуляра, опущенного на сторону AB из точки C треугольника ABC: - Перпендикуляр проводится из точки C к стороне AB, поэтому его направляющий вектор будет коллинеарен вектору \( \overrightarrow{AB} \).

10. Площадь треугольника ABC: - Площадь треугольника в пространстве можно найти, используя формулу Герона или вычисляя половину векторного произведения векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \).

11. Координаты точки пересечения медиан треугольника ABC: - Медианы треугольника пересекаются в его центре масс, который можно найти, усреднив координаты вершин треугольника.

12. **Объем п