Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^3+1, y=0, x=1, x=2

Answer 1

Ответ:       19/4=4 3/4 кв. ед.

Объяснение:

1)  Строим графики функций  y=x^3+1;  y=0;  x=1;  x=2. (См. скриншот)

2)  Площадь S=∫(a;b)f(x)dx.

3)  Пределы интегрирования a=1;  b=2.

4)  f(x) = x^3+1. Тогда

5)  S=∫(1;2)(x^3+1)dx = ∫(1;2)(x^3)dx + ∫(1;2)1dx = 1/4(x^4)|(1;2) + x|(1;2) =

= 1/4(2^4-1^4) + (2-1) = 1/4(16-1)+1 = 15/4+1=19/4=4 3/4 кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций \(y = x^3 + 1\), \(y = 0\), \(x = 1\) и \(x = 2\), мы можем использовать определенный интеграл. Площадь такой фигуры может быть найдена как разность интегралов этих функций в заданных пределах.

Давайте сначала определим точки пересечения графиков. Для этого приравняем функции друг к другу:

1. \(y = x^3 + 1\) 2. \(y = 0\)

Подставим в уравнение (1) значение уравнения (2) и решим для \(x\):

\[x^3 + 1 = 0\]

Отсюда получаем, что \(x = -1\) - это точка пересечения.

Теперь мы хотим найти площадь между кривой \(y = x^3 + 1\) и осью \(x\) на интервале \([-1, 2]\). Это можно сделать с использованием определенного интеграла:

\[S = \int_{-1}^{2} (x^3 + 1) \,dx\]

Вычислим этот интеграл:

\[S = \left[\frac{1}{4}x^4 + x\right]_{-1}^{2}\]

Подставим верхний и нижний пределы:

\[S = \left(\frac{1}{4}(2)^4 + 2\right) - \left(\frac{1}{4}(-1)^4 - (-1)\right)\]

\[S = \left(\frac{1}{4} \cdot 16 + 2\right) - \left(\frac{1}{4} - (-1)\right)\]

\[S = \left(4 + 2\right) - \left(\frac{1}{4} + 1\right)\]

\[S = 6 - \frac{5}{4}\]

\[S = \frac{14}{4} - \frac{5}{4}\]

\[S = \frac{9}{4}\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой \(y = x^3 + 1\), \(y = 0\), \(x = 1\) и \(x = 2\), равна \(\frac{9}{4}\) квадратных единиц.