Question

Рассмотрим ряд Пусть чему равно a? Решите подробно с правильным оформлением в тетради или в LaTex !

Answer 1

$\displaystyle \sqrt[n]{a_n} = a_n^{1/n} = \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^{n+1} = \left(1+\frac{2}{p}\right)^p = \sqrt{\left(1+\frac{1}{q}\right)^q}$

Где p = n+1 и q = p/2. Так как при n стремящемся к бесконечности q = (n+1)/2 также стремится к бесконечности, подкоренное выражение стремится к e (второй замечательный предел), а само $a_n$ стремится к $e^{0.5}$. Показатель степени $a = 0.5$

Answer 2

В вашем вопросе не указано значение ряда, которое нужно найти. Поэтому я не могу дать конкретный ответ. Однако я могу показать вам, как решить ряд и привести пример.

Предположим, у нас есть следующий ряд: \[ S = a + a^2 + a^3 + a^4 + \ldots \]

Чтобы найти значение ряда, нужно сначала выразить его в виде геометрической прогрессии. В данном случае, можно заметить, что каждый следующий член ряда получается путем умножения предыдущего члена на \(a\). То есть, каждый следующий член можно представить как \(a\) в степени на одну больше, чем предыдущий член.

Для удобства, давайте переместим \(a\) в начало ряда: \[ S = a\left(1 + a + a^2 + a^3 + \ldots\right) \]

Теперь получившийся нам ряд в скобках похож на исходный ряд, но "сдвинутый" на 1. Чтобы учесть этот сдвиг, отнимем 1 от обоих частей: \[ S - 1 = a\left(a + a^2 + a^3 + \ldots\right) \]

Теперь по теореме о сумме бесконечной геометрической прогрессии (для случая, когда \(|a| < 1\)) мы можем выразить сумму ряда в скобках следующим выражением: \[ S - 1 = \frac{a}{1 - a} \]

Теперь решим получившееся уравнение относительно \(S\): \[ S = \frac{a}{1 - a} + 1 \]

Итак, получили общую формулу для суммы данного ряда. Теперь, если вам нужно найти значение ряда для конкретного значения \(a\), подставьте это значение в полученную формулу.

Например, если \(a = \frac{1}{2}\), мы можем посчитать: \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} + 1 = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} + 1 = 1 + 1 = 2 \]

Таким образом, значение ряда для \(a = \frac{1}{2}\) равно 2.