Question

Розв'яжіть нерівність методи інтервалів (х + 5) (x - 1) (4 - х) < = 0​

Answer 1

Ответ:

Для розбору нерівності методом інтервалів, спочатку знайдемо нулі виразу, який стоїть перед нерівністю:

(х + 5) (x - 1) (4 - х) = 0

Нульові точки: х + 5 = 0, x - 1 = 0, 4 - х = 0

Легко бачити, що нульові точки цього виразу - х = -5, х = 1, х = 4.

Тепер побудуємо таблицю знаків, використовуючи ці нульові точки:

х | -∞ | -5 | 1 | 4 | +∞

---------------------------------------

х + 5 | - | 0 | + | + | +

---------------------------------------

x - 1 | - | - | - | + | +

---------------------------------------

4 - х | + | + | + | - | -

Тепер звернемо увагу на зони, де весь вираз від'ємний (≤ 0):

1) Від -∞ до -5: х + 5 < 0, x - 1 < 0, 4 - х < 0

2) Від -5 до 1: х + 5 < 0, x - 1 > 0, 4 - х < 0

3) Від 1 до 4: х + 5 > 0, x - 1 > 0, 4 - х < 0

4) Від 4 до +∞: х + 5 > 0, x - 1 > 0, 4 - х > 0

Тепер перевіримо кожну зону підставляючи випробувальні значення:

1) Від -∞ до -5: Х = -100 ⇒ (-100 + 5) (-100 - 1) (4 - (-100)) = (-95) (-101) (104) < 0 - Дійсно задовольняє умову.

2) Від -5 до 1: Х = 0 ⇒ (0 + 5) (0 - 1) (4 - 0) = (5) (-1) (4) > 0 - Не задовольняє умову.

3) Від 1 до 4: Х = 2 ⇒ (2 + 5) (2 - 1) (4 - 2) = (7) (1) (2) > 0 - Не задовольняє умову.

4) Від 4 до +∞: Х = 100 ⇒ (100 + 5) (100 - 1) (4 - 100) = (105) (99) (-96) < 0 - Дійсно задовольняє умову.

Отже, розв'язком нерівності є інтервали:

X ∈ (-∞, -5] ∪ (4, +∞)

Answer 2

Для розв'язання даної нерівності (x + 5)(x - 1)(4 - x) ≤ 0, ми можемо скористатися методом інтервалів та аналізом зміни знаків виразу на різних інтервалах.

Крок 1: Знайдіть критичні точки, де вираз (x + 5)(x - 1)(4 - x) дорівнює нулю. Це відбувається, коли кожен з множників (x + 5), (x - 1) та (4 - x) дорівнює нулю:

x + 5 = 0 => x = -5 x - 1 = 0 => x = 1 4 - x = 0 => x = 4

Тож ми маємо три критичні точки: x = -5, x = 1 та x = 4.

Крок 2: Розділімо числову пряму на чотири інтервали, використовуючи критичні точки:

Інтервал 1: x < -5 Інтервал 2: -5 < x < 1 Інтервал 3: 1 < x < 4 Інтервал 4: x > 4

Крок 3: Виберемо точку з кожного інтервалу і підставимо їх у вираз (x + 5)(x - 1)(4 - x), щоб визначити знак цього виразу на кожному інтервалі.

Інтервал 1 (x < -5): Виберемо x = -6: (-6 + 5)(-6 - 1)(4 - (-6)) = (-1)(-7)(10) = 70

На інтервалі 1 вираз (x + 5)(x - 1)(4 - x) дорівнює 70, що є додатнім числом.

Інтервал 2 (-5 < x < 1): Виберемо x = 0: (0 + 5)(0 - 1)(4 - 0) = (5)(-1)(4) = -20

На інтервалі 2 вираз (x + 5)(x - 1)(4 - x) дорівнює -20, що є від'ємним числом.

Інтервал 3 (1 < x < 4): Виберемо x = 2: (2 + 5)(2 - 1)(4 - 2) = (7)(1)(2) = 14

На інтервалі 3 вираз (x + 5)(x - 1)(4 - x) дорівнює 14, що є додатнім числом.

Інтервал 4 (x > 4): Виберемо x = 5: (5 + 5)(5 - 1)(4 - 5) = (10)(4)(-1) = -40

На інтервалі 4 вираз (x + 5)(x - 1)(4 - x) дорівнює -40, що є від'ємним числом.

Крок 4: Тепер ми можемо скласти таблицю знаків:

      |  (x + 5)(x - 1)(4 - x)
------------------------------
x < -5 |       +
-5 < x < 1 |       -
1 < x < 4 |       +
x > 4 |       -

Крок 5: Подивимося на інтервали, в яких вираз (x + 5)(x - 1)(4 - x) менше або дорівнює нулю (≤ 0). Ці інтервали це -5 < x < 1 та x > 4.

Отже, розв'язок нерівності (x + 5)(x - 1)(4 - x) ≤ 0 це:

x належить інтервалу (-5, 1] об'єднаного з інтервалом [4, ∞).