Question

Знайдіть НСД (111 ... 111, 11 ... 11) - в запису першого числа 100 одиниць, в запису другого - 60.

Answer 1

Ответ:

2+2=4

Попыт два Ангел вопрос

Answer 2

Давайте разложимо обидва числа на множники, щоб знайти їх НСД:

111...111 з 100 одиниць = 11 * 10^0 + 11 * 10^1 + 11 * 10^2 + ... + 11 * 10^99

11...11 з 60 одиниць = 11 * 10^0 + 11 * 10^1 + 11 * 10^2 + ... + 11 * 10^59

Обидва числа можна записати як суму ряду геометричної прогресії з першим членом а = 11 і загальним знаменником r = 10.

11 + 11 * 10 + 11 * 10^2 + ... + 11 * 10^(n-1) = 11 * (1 + 10 + 10^2 + ... + 10^(n-1))

Формула для суми ряду геометричної прогресії виглядає наступним чином:

S = a * (1 - r^n) / (1 - r)

Тепер можна підставити значення в формулу й знайти суму обидвох чисел:

Сума першого числа = 11 * (1 - 10^100) / (1 - 10) = 11 * (1 - 10^100) / (-9)

Сума другого числа = 11 * (1 - 10^60) / (1 - 10) = 11 * (1 - 10^60) / (-9)

Тепер застосуємо формулу для знаходження НСД (Найбільшого спільного дільника):

НСД = |Сума першого числа| / НОД(|Сума першого числа|, |Сума другого числа|)

За допомогою алгоритму Евкліда можна знайти НОД(|Сума першого числа|, |Сума другого числа|). Цей алгоритм полягає в послідовному виконанні ділення з остачею. Для прикладу:

НОД(35, 14) = НОД(14, 7) = НОД(7, 0) = 7

Таким чином, використовуючи формулу з приведеними значеннями, ми зможемо знайти НСД(111...111, 11...11) = НСД(|Сума першого числа|, |Сума другого числа|).