Question

X^2 / log_2(x) > 2 Как решать подобные неравенства со сложными функциями? Кроме графического способа.

Answer 1

ОДЗ: x>0; x≠1.

Это нестандартная задача, и решается нестандартным способом. Правда, подобные нестандартные методы применяются  так часто, что их можно уже называть стандартными нестандартными способами.

Поскольку к логарифмам отношение обычно настороженное, избавимся от них. Замена $\log_2x=t;\ x=2^t;$ неравенство превращается в

$\frac{2^{2t}}{t}>2;$ при t<0 неравенство не выполнено, на ноль делить нельзя. Поэтому можно предположить, что t>0. А тогда неравенство можно домножить на t, получив неравенство $2^{2t}>2t;\ 2t=p>0;\ 2^p>p.$

Поскольку p>0, $2^p>1,$ поэтому при $p\le 1$ имеем $2^p>1\ge p\Rightarrow 2^p>p,$ то есть неравенство выполнено. При p>1 неравенство тем более выполнено, так как левая часть растет быстрее правой, поскольку

$(2^p)'=2^p\cdot \ln 2=2^{p-1}\cdot 2\cdot \ln 2=2^{p-1}\ln 4>1=p'.$

Итак, неравенство выполнено при p>0, то есть при t>0,  то есть при x>1.  

Ответ: $(1;+\infty).$

Answer 2

Для решения неравенств с сложными функциями, такими как \(x^2\) и \(\log_2(x)\), мы можем использовать различные методы, такие как методы анализа знака и методы переноса всех членов на одну сторону уравнения. Давайте рассмотрим ваше неравенство:

\[x^2 / \log_2(x) > 2\]

Для начала заметим, что \(\log_2(x)\) является положительным для \(x > 0\), и его значение равно 0 при \(x = 1\). Также важно отметить, что \(x^2\) всегда положительно для всех \(x\). Теперь давайте рассмотрим несколько случаев:

1. \(x > 1\): В этом случае \(\log_2(x) > 0\) и \(x^2 > 0\), поэтому \(\frac{x^2}{\log_2(x)} > 0\). Таким образом, неравенство выполняется для всех \(x > 1\).

2. \(0 < x < 1\): В этом случае \(\log_2(x) < 0\) (потому что \(\log_2\) от числа между 0 и 1 отрицателен), и \(x^2 > 0\). Таким образом, \(\frac{x^2}{\log_2(x)} < 0\). Неравенство не выполняется.

3. \(x = 1\): При \(x = 1\) \(\log_2(x) = 0\), и неравенство не имеет смысла.

Итак, неравенство выполняется только для \(x > 1\). Таким образом, решение неравенства:

\[x^2 / \log_2(x) > 2\]

это \(x > 1\).

Важно отметить, что при решении неравенств с использованием сложных функций всегда необходимо быть внимательным к диапазону значений, для которых функции определены, и анализировать знаки функций в этих диапазонах, чтобы правильно определить, когда неравенство выполняется.