Question

Решите уравнения 1)log_2 (2х+1)= log_2 (3х−7) 2)log_2 х+log_2 (х+2)=3 3) lg^2 x – 3lg x + 2 = 0 Решите неравенства 1) log_16 (4х+3)> 1/2 2) log^2_4 x – 2log_4 x – 3 <0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) ОДЗ:  2x+1>0,  x>-1/2  u  3x-7>0,  x>7/3,  основания равны, 2x+1=3x-7,  x=8

2) ОДЗ:  x>0  u  x+2>0,  x>-2,  значит, x>0,  

log2 (x*(x+2))=3,   x^2+2x=2^3,  x^2+2x-8=0,   корни   х=2  и  х=-4(не

удовлетворяет ОДЗ),  отв. х=2

3)обозначим  lgx=t/  x>0,   t^2-3t+2=0,  t=1  u  t=2,  тогда,  lgx=1,  x=10,

lgx=2,  x=10^2=100,  отв:  10 и  100  (^ -знак степени)

1) ОДЗ:  4x+3>0,  x>-3/4,  т.к. основание >1, то  4x+3>16^ 1/2,

4x+3>4,  4x> 1,  x> 1/4

2) ОДЗ: х>0,  пусть  t=log4 x, тогда,  t^2-2t-3<0,  ,  корни  t=3  u  t=-1,

-1<t<3,   -1<log4 x<3,   1/4<x<4^3,   1/4<x<64

Answer 2

Давайте решим уравнения и неравенства по очереди.

Уравнения:

1. Уравнение: $\log_2(2x+1) = \log_2(3x-7)$

Так как обе стороны уравнения имеют одинаковую базу логарифма ($2$), мы можем избавиться от логарифмов, применив свойство равенства логарифмов:

$2x+1 = 3x-7$

Теперь выразим $x$:

$x = 8$

2. Уравнение: $\log_2(x) + \log_2(x+2) = 3$

Сначала объединим логарифмы с помощью свойства логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$:

$\log_2(x(x+2)) = 3$

Теперь избавимся от логарифма:

$x(x+2) = 2^3$ $x^2 + 2x - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение, например, с помощью квадратного корня:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}$ $x = -1 \pm 3$ Это дает два решения: $x = 2$ и $x = -4$.

3. Уравнение: $\log_{10}^2(x) - 3\log_{10}(x) + 2 = 0$

Обозначим $y = \log_{10}(x)$, тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 3y + 2 = 0$

Факторизуем квадратное уравнение:

$(y - 1)(y - 2) = 0$

Таким образом, имеем два значения $y$: $y = 1$ и $y = 2$. Теперь найдем соответствующие значения $x$:

Для $y = 1$: $\log_{10}(x) = 1$, значит $x = 10$. Для $y = 2$: $\log_{10}(x) = 2$, значит $x = 100$.

Неравенства:

1. Неравенство: $\log_{16}(4x+3) > \frac{1}{2}$

Перепишем неравенство в виде:

$\log_{16}(4x+3) - \frac{1}{2} > 0$

Используем свойство логарифма $\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)$:

$\log_{16}\left(\frac{4x+3}{\sqrt{16}}\right) > 0$

$\log_{16}\left(\frac{4x+3}{4}\right) > 0$

Теперь решим неравенство:

$\frac{4x+3}{4} > 1$ $4x + 3 > 4$