Question

Помогите пожалуйста :< докажите что cos68°- cos22°/sin68°- sin22°=-1. В ответе запишите : 1) как вы преобразовали числитель 2) как вы преобразовали знаменатель 3) что получилось при упрощении.

Answer 1

Ответ:

На фото

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства равенства \( \frac{\cos{68^\circ} - \cos{22^\circ}}{\sin{68^\circ} - \sin{22^\circ}} = -1 \), мы можем воспользоваться формулами сложения тригонометрических функций и фактом, что \(\cos{90^\circ} = 0\) и \(\sin{90^\circ} = 1\).

1) Преобразование числителя: Используем формулу разности для косинуса: \[ \cos{A} - \cos{B} = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \]

В нашем случае, \(A = 68^\circ\) и \(B = 22^\circ\), поэтому: \[ \cos{68^\circ} - \cos{22^\circ} = -2\sin\left(\frac{68^\circ + 22^\circ}{2}\right)\sin\left(\frac{68^\circ - 22^\circ}{2}\right) \] \[ \cos{68^\circ} - \cos{22^\circ} = -2\sin{45^\circ}\sin{23^\circ} \]

2) Преобразование знаменателя: Используем формулу разности для синуса: \[ \sin{A} - \sin{B} = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \]

В нашем случае, \(A = 68^\circ\) и \(B = 22^\circ\), поэтому: \[ \sin{68^\circ} - \sin{22^\circ} = 2\cos\left(\frac{68^\circ + 22^\circ}{2}\right)\sin\left(\frac{68^\circ - 22^\circ}{2}\right) \] \[ \sin{68^\circ} - \sin{22^\circ} = 2\cos{45^\circ}\sin{23^\circ} \]

3) Теперь подставим наши результаты в исходное выражение: \[ \frac{\cos{68^\circ} - \cos{22^\circ}}{\sin{68^\circ} - \sin{22^\circ}} = \frac{-2\sin{45^\circ}\sin{23^\circ}}{2\cos{45^\circ}\sin{23^\circ}} \]

Заметим, что числители и знаменатели делятся на 2 и \(\sin{23^\circ}\) в числителе и знаменателе сокращается: \[ \frac{-2\sin{45^\circ}\sin{23^\circ}}{2\cos{45^\circ}\sin{23^\circ}} = \frac{-\sin{45^\circ}}{\cos{45^\circ}} \]

Теперь вспомним, что \(\sin{45^\circ} = \cos{45^\circ}\), поэтому: \[ \frac{-\sin{45^\circ}}{\cos{45^\circ}} = \frac{-\cos{45^\circ}}{\cos{45^\circ}} \]

И, наконец, \(\cos{45^\circ} = 1\), поэтому: \[ \frac{-\cos{45^\circ}}{\cos{45^\circ}} = \frac{-1}{1} = -1 \]

Таким образом, мы доказали, что \(\frac{\cos{68^\circ} - \cos{22^\circ}}{\sin{68^\circ} - \sin{22^\circ}} = -1\).