Question

Докажите неравенство9х^2 +y^2≥ 6ху.​

Answer 1

Ответ:

Доказательство в картинке. Надеюсь, что всё понятно

Answer 2

Давайте докажем неравенство 9x^2 + y^2 ≥ 6xy методом полного квадрата. Для этого преобразуем левую сторону неравенства:

9x^2 + y^2 = (3x)^2 + y^2

Теперь мы видим, что у нас есть два полных квадрата: (3x)^2 и y^2. Мы знаем, что для полного квадрата сумма квадратов двух выражений равна квадрату суммы этих выражений. Итак, мы можем записать:

(3x)^2 + y^2 = (3x + y)^2

Теперь давайте сравним полученное выражение с правой стороной неравенства, которая равна 6xy. Теперь мы должны доказать, что (3x + y)^2 ≥ 6xy.

(3x + y)^2 ≥ 6xy

Раскроем квадрат слева:

(3x + y)^2 = 9x^2 + 6xy + y^2

Теперь сравним это выражение с правой стороной неравенства:

9x^2 + 6xy + y^2 ≥ 6xy

Заметим, что 6xy на правой стороне неравенства отменяется с 6xy на левой стороне:

9x^2 + 6xy + y^2 - 6xy ≥ 6xy - 6xy

Теперь у нас осталось:

9x^2 + y^2 - 6xy ≥ 0

И это неравенство верно для любых значений x и y, так как левая сторона выражения является суммой квадратов, которая всегда больше или равна нулю.

Таким образом, неравенство 9x^2 + y^2 ≥ 6xy верно для всех значений x и y.