Question

Сколько решений имеет система? : x+y=2;{ 3x-2y=11​

Answer 1

Ответ:

Система имеет одно решение!

Объяснение:

$\left \{ {{x + y=2} \atop {3x - 2y=11}} \right.$ $\left \{ {{y=2 - x} \atop {2y=3x - 11|:2}} \right.$ $\left \{ {{y= -x + 2} \atop {y=1,5x - 5,5}} \right.$ ⇒ -x + 2 = 1,5x - 5,5

-x + 2 = 1,5x - 5,5

7,5 = 2,5x |*10

75 = 25x|:25

x = 3

y = -x + 2 = -3 + 2 = -1

(3;-1) ⇒ Система имеет одно решение

Answer 2

Для определения количества решений системы уравнений, мы можем применить метод определителей, метод Крамера или метод Гаусса.

1. Метод определителей: Исходная система: x + y = 2 (1) 3x - 2y = 11 (2)

Приведем ее к матричному виду: | 1 1 | | x | | 2 | | 3 -2 | * | y | = | 11 |

Определитель основной матрицы системы: D = | 1 1 | | 3 -2 | = (1 * (-2)) - (1 * 3) = -2 - 3 = -5

Определитель матрицы, где заменена первая колонка на столбец свободных членов: Dx = | 2 1 | | 11 -2 | = (2 * (-2)) - (1 * 11) = -4 - 11 = -15

Определитель матрицы, где заменена вторая колонка на столбец свободных членов: Dy = | 1 2 | | 3 11 | = (1 * 11) - (2 * 3) = 11 - 6 = 5

Если D ≠ 0, то система имеет единственное решение. Если D = 0, а хотя бы один из определителей Dx или Dy ≠ 0, то система не имеет решений. Если D = 0, и оба определителя Dx и Dy = 0, то система имеет бесконечно много решений.

В данной системе D = -5, поэтому система имеет единственное решение.

2. Метод Крамера: Для применения метода Крамера необходимо вычислить определители Dx и Dy. Результаты расчетов были представлены выше: Dx = -15, Dy = 5.

Если Dx ≠ 0 и Dy ≠ 0, то система имеет единственное решение. Если Dx = 0 и Dy = 0, то система имеет бесконечное количество решений. Если либо Dx = 0, либо Dy = 0, то система не имеет решений.

В данном случае Dx ≠ 0 и Dy ≠ 0, поэтому система имеет единственное решение.

3. Метод Гаусса: Мы можем преобразовать систему уравнений методом Гаусса и проверить количество ненулевых строк в приведенной к ступенчатому виду матрице системы.

Приведем систему к ступенчатому виду:

| 1 1 : 2 | | 0 -5 : 5 |

Ступенчатая матрица имеет 2 ненулевых строки, что означает, что система уравнений имеет единственное решение.

Итак, все три метода показывают, что данная система уравнений имеет единственное решение.