Question

(АЛГЕБРА, Г.П.) Запишите первые 5 членов геометрической прогрессии, в которой третий член на 18 больше, чем второй, и на 9 больше, чем первый.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

b₃=b₂+18; b₃=b₁q+18; b₃=b₁q²

b₃=b₁+9; b₃=b₁q²

Система уравнений:

b₁q+18=b₁q²; b₁q²-b₁q=18; b₁q(q-1)=18

b₁+9=b₁q²; b₁q²-b₁=9; b₁(q²-1)=9; b₁(q-1)(q+1)=9

(b₁q(q-1))/(b₁(q-1)(q+1))=18/9

q/(q+1)=2

q=2q+2

q-2q=2

q=-2 - знаменатель геометрической прогрессии.

b₁+9=b₁·(-2)²; b₁+9=4b₁; 9=4b₁-b₁; b₁=9/3=3 - 1-й член геометрической прогрессии.

b₃=3+9=12 - 3-й член геометрической прогрессии.

b₂=12-18=-6 - 2-й член геометрической прогрессии.

b₄=b₃q=12·(-2)=-24 - 4-й член геометрической прогрессии.

b₅=b₄q=-24·(-2)=48 - 5-й член геометрической прогрессии.

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а знаменатель прогрессии (отношение между соседними членами) как q. Тогда второй член будет равен aq, третий член будет равен aq^2, и так далее.

У нас есть два условия:

1. Третий член на 18 больше, чем второй: aq^2 = aq + 18. 2. Третий член на 9 больше, чем первый: aq^2 = a + 9.

Теперь давайте решим эту систему уравнений.

Сначала выразим a из первого уравнения:

aq^2 = aq + 18

a(q^2 - q) = 18

a = 18 / (q^2 - q)

Теперь подставим это значение a во второе уравнение:

aq^2 = a + 9

(18 / (q^2 - q))q^2 = (18 / (q^2 - q)) + 9

18q^2 = 18 + 9(q^2 - q)

18q^2 = 18 + 9q^2 - 9q

9q^2 + 9q - 18 = 0

Для удобства давайте поделим обе стороны на 9:

q^2 + q - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью квадратного корня или метода факторизации:

q^2 + q - 2 = 0

(q + 2)(q - 1) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения для q:

1. q = -2 2. q = 1

Если q = -2, то значение a будет:

a = 18 / (-2^2 - (-2)) = 18 / (4 + 2) = 18 / 6 = 3

Если q = 1, то значение a будет:

a = 18 / (1^2 - 1) = 18 / (1 - 1) = 18 / 0

Однако деление на ноль недопустимо, поэтому q = 1 не подходит.

Таким образом, первый член a = 3, а знаменатель прогрессии q = -2.

Первые 5 членов геометрической прогрессии будут:

1. Первый член a = 3. 2. Второй член aq = 3 * (-2) = -6. 3. Третий член aq^2 = 3 * (-2)^2 = 12. 4. Четвёртый член aq^3 = 3 * (-2)^3 = -24. 5. Пятый член aq^4 = 3 * (-2)^4 = 48.

Таким образом, первые 5 членов геометрической прогрессии равны: 3, -6, 12, -24, 48.