Question

2. Разложите многочлен на множители: а) 2 х3 – 54 б) а2 + 6аb + 9b2 – а - 3b в) х2 + у2 + 2ху +2х + 2у +1

Answer 1

Ответ:

$2x^3-54=2(x^3-27)=2(x-3)(x^2+3x+9)\\\\\\\underbrace{a^2+6ab+9b^2}_{(a+3b)^2}-a-3b=(a+3b)^2-(a+3b)=(a+3b)(a+3b-1)$

$\underbrace {x^2+y^2+2xy}_{(x+y)^2}+\underbrace {2x+2y}_{2(x+y)}+1=\underbrace {(x+y)^2+2(x+y)+1}_{z^2+2z+1=(z+1)^2}=(\, (x+y)+1)^2=\\\\=(x+y+1)^2$

Answer 2

Давайте разложим каждый из данных многочленов на множители:

а) 2x^3 - 54:

Сначала вынесем из обоих членов общий множитель, который равен 2:

2(x^3 - 27)

Теперь мы видим, что внутри скобок стоит разность куба и куба числа 3:

2(x - 3)(x^2 + 3x + 9)

Итак, многочлен 2x^3 - 54 можно разложить на множители следующим образом: 2(x - 3)(x^2 + 3x + 9).

б) a^2 + 6ab + 9b^2 - a - 3b:

Этот многочлен является полным квадратом, так как первые три члена a^2 + 6ab + 9b^2 могут быть записаны как квадрат бинома (a + 3b)^2. Поэтому:

a^2 + 6ab + 9b^2 = (a + 3b)^2

Теперь добавим оставшиеся два члена -a и -3b:

-a - 3b = -1(a + 3b)

Итак, многочлен a^2 + 6ab + 9b^2 - a - 3b можно разложить на множители следующим образом: (a + 3b - 1)(a + 3b).

в) x^2 + y^2 + 2xy + 2x + 2y + 1:

Для разложения этого многочлена на множители давайте внимательно рассмотрим его члены. Сначала заметим, что первые три члена x^2 + y^2 + 2xy можно записать как квадрат бинома (x + y)^2:

x^2 + y^2 + 2xy = (x + y)^2

Теперь добавим оставшиеся два члена 2x и 2y:

2x + 2y = 2(x + y)

Теперь мы видим, что многочлен x^2 + y^2 + 2xy + 2x + 2y + 1 можно разложить на множители следующим образом: (x + y)^2 + 2(x + y) + 1.

Теперь у нас есть разложение данных многочленов на множители.