Question

Докажите тождество ПРОЩУ ПОМОГИТЕЕ 1+ctg^2a+1/cos^2a=1/sin^2a*cos^2a

Answer 1

$1+ctg^2a+ \dfrac{1}{cos^2a}= \\ \\ =1+ \dfrac{cos^2a}{sin^2a}+ \dfrac{1}{cos^2a}= \\ \\ = \dfrac{sin^2acos^2a+cos^4a+sin^2a}{sin^2acos^2a}= \\ \\ = \dfrac{cos^2a(sin^2a+cos^2a)+sin^2a}{sin^2acos^2a}= \\ \\ = \dfrac{sin^2a+cos^2a}{sin^2acos^2a}= \\ \\ = \dfrac{1}{sin^2acos^2a}$

Answer 2

Давайте докажем данное тождество по шагам.

Начнем с левой части выражения: 1 + ctg^2(a) * (1/cos^2(a))

Для удобства, перепишем ctg^2(a) как 1/tan^2(a): 1 + (1/tan^2(a)) * (1/cos^2(a))

Теперь объединим дроби: 1 + 1/(tan^2(a) * cos^2(a))

Теперь вспомним тригонометрическую формулу: tan^2(a) = 1 - cos^2(a). Подставим это в выражение: 1 + 1/((1 - cos^2(a)) * cos^2(a))

Раскроем скобки: 1 + 1/(cos^2(a) - cos^4(a))

Теперь объединим дроби: (1*(cos^2(a) - cos^4(a)) + 1)/(cos^2(a) - cos^4(a))

Раскроем скобки: (cos^2(a) - cos^4(a) + 1)/(cos^2(a) - cos^4(a))

Теперь выражение в числителе можно упростить: cos^2(a) - cos^4(a) + 1 = cos^2(a) * (1 - cos^2(a)) + 1 = cos^2(a) * sin^2(a) + 1

Подставим это обратно в исходное выражение: (cos^2(a) * sin^2(a) + 1)/(cos^2(a) - cos^4(a))

Теперь вспомним тригонометрическую формулу: sin^2(a) = 1 - cos^2(a). Подставим это в выражение: (cos^2(a) * (1 - cos^2(a)) + 1)/(cos^2(a) - cos^4(a))

Раскроем скобки: (cos^2(a) - cos^4(a) + 1)/(cos^2(a) - cos^4(a))

Мы видим, что числитель и знаменатель равны, поэтому можем сократить: 1

Таким образом, доказано, что левая часть равна правой части исходного тождества.