Question

Дана арифметическая прогрессия (xn) : x5 + x10 = 120. Найди S14.

Answer 1

Нужно знать:

1) арифметическая прогрессия - это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называют разностью арифметической рогрессии и обозначают буквой d, т.е. aₓ₊₁ = aₓ + d (нет индекса n в редакторе);

2) формула n-го члена: аn = а₁ + d(n - 1);

3) формула суммы n первых членов:

    Sn = (a₁ + an)n/2 и Sn = (2a₁ + d(n - 1))n/2.

Поэтому:

т. к. х₅ + х₁₀ = 120,

х₅ = х₁ + 4d, х₁₀ = х₁ + 9d, тогда

х₅ + х₁₀ = (х₁ + 4d) + (х₁ + 9d) = 2х₁ + 13d = 120.

S₁₄ = (2х₁ + 13d) · 14/2 = 120 · 7 = 840.

Ответ: 840.

Answer 2

Для нахождения суммы первых 14 членов арифметической прогрессии, когда даны два члена этой прогрессии (x5 и x10), их сумма (120), нам понадобятся некоторые формулы для арифметических прогрессий.

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой разница между любыми двумя последовательными членами одинакова. Эта разница называется разностью (d).

Мы знаем два члена прогрессии: x5 - пятый член прогрессии. x10 - десятый член прогрессии.

Мы также знаем, что x10 - x5 = 120, так как сумма x5 и x10 равна 120.

Теперь, чтобы найти разность (d), мы можем воспользоваться формулой для разности в арифметической прогрессии:

d = (x10 - x5) / (10 - 5) = 120 / 5 = 24

Теперь у нас есть разность (d), и мы можем найти первый член прогрессии (x1). Для этого используется следующая формула:

x1 = x5 - 4d = x5 - 4 * 24 = x5 - 96

Теперь мы можем найти сумму первых 14 членов прогрессии (S14) с помощью формулы для суммы арифметической прогрессии:

S14 = (n/2) * [2a + (n - 1)d]

где n - количество членов прогрессии, a - первый член прогрессии, d - разность.

В нашем случае: n = 14 (мы хотим найти сумму первых 14 членов) a = x1 (первый член прогрессии) d = 24 (разность)

Теперь мы можем подставить значения и найти S14:

S14 = (14/2) * [2(x1) + (14 - 1) * 24]

S14 = 7 * [2(x5 - 96) + 13 * 24]

S14 = 7 * [2(x5 - 96) + 312]

Теперь мы знаем, что x5 + x10 = 120, так что x5 = 120 - x10. Подставим это значение в формулу:

S14 = 7 * [2((120 - x10) - 96) + 312]

S14 = 7 * [2(24 - x10) + 312]

S14 = 7 * [48 - 2x10 + 312]

S14 = 7 * [360 - 2x10]

Теперь мы знаем, что x10 - x5 = 120, так что x10 = x5 + 120. Подставим это значение:

S14 = 7 * [360 - 2(x5 + 120)]

S14 = 7 * [360 - 2x5 - 240]

S14 = 7 * [120 - 2x5]

Теперь, чтобы найти S14, нам нужно знать значение x5. Для этого необходимо дополнительная информация о прогрессии или члене x10. Без этой информации мы не сможем найти точное значение S14.