Question

Sin(x + y)dx + x cos(x + y)(dx + dy) = 0 срочно

Answer 1

Ответ:

(sin(x+y)+xcos(x+y))dx+xcos(x+y)dy=0

P(x,y)=(sin(x+y)+xcos(x+y)), Q(x,y)=xcos(x+y),

P`(y)=cos(x+y)-xsin(x+y)

Q`(x)=cos(x+y)-xsin(x+y)

P`(y)=Q`(x) - данное ур-е является ур-м в полных дифференциалах

Ищем ф-ю U(x,y), чтобы ее полный дифференциал был равен левой части данного ур-я

U`(x)=(sin(x+y)+xcos(x+y)) (1), U`(y)=xcos(x+y) (2)

из (1): U(x,y)=int(((sin(x+y)+xcos(x+y))dx)=-cos(x+y)+xsin(x+y)+cos(x+y)+f(y)=xsin(x+y)+f(y) (3)

из (3): U`(y)=xcos(x+y)+f `(y) (4)

из (2),(4): xcos(x+y)+f``(y)=xcos(x+y), f `(y)=0, f(y)=C, из (3): U(x,y)=xsin(x+y)+C1

U(x,y)=C: xsin(x+y)+C1=C - общее решение данного ур-я

Объяснение:

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала давайте определимся, какие переменные мы интегрируем и какие с ними связаны. У вас есть интеграл:

∫[sin(x + y) dx + xcos(x + y) (dx + dy)] = 0

Здесь у нас есть две переменные: x и y. Первое слагаемое содержит dx, а второе слагаемое содержит и dx, и dy. Чтобы разделить переменные и выполнить интегрирование, давайте разделим уравнение на два слагаемых:

∫sin(x + y) dx + ∫xcos(x + y) (dx + dy) = 0

Теперь разделим уравнение на два интеграла:

∫sin(x + y) dx + ∫xcos(x + y) (dx + dy) = 0

Рассмотрим первый интеграл:

∫sin(x + y) dx

Это интеграл от функции sin(x + y) по переменной x. Чтобы решить его, давайте проведем интегрирование:

∫sin(x + y) dx = -cos(x + y) + C1,

где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь рассмотрим второй интеграл:

∫xcos(x + y) (dx + dy)

Для интегрирования данного интеграла по переменной x + y, давайте воспользуемся методом подстановки. Пусть t = x + y, тогда dt = dx + dy. Теперь мы можем переписать интеграл следующим образом:

∫xcos(t) dt

Это интеграл от функции xcos(t) по переменной t. Давайте интегрируем его:

∫xcos(t) dt = xsin(t) + C2,

где C2 - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Теперь, вернемся к переменным x и y:

xsin(t) + C2 = 0

Теперь давайте подставим обратно значение t = x + y:

xsin(x + y) + C2 = 0

Теперь у нас есть два интеграла, каждый равен константе:

-Cos(x + y) + C1 + xsin(x + y) + C2 = 0

Мы можем объединить константы C1 и C2 в одну произвольную постоянную C:

-Cos(x + y) + xsin(x + y) + C = 0

Это уравнение связывает x и y через тригонометрические функции. Решение этого уравнения может быть сложным и зависит от контекста задачи. В общем случае, вы можете оставить его в таком виде.