Question

Найти неопределенный интеграл ∫x · (1 + x)^4dx​

Answer 1

$\int x\cdot (1+x)^4\, dx=\int x\cdot (x^4+4x^3+6x^2+4x+1)\, dx=\\\\\\=\int (x^5+4x^4+6x^3+4x^2+x)\, dx=\dfrac{x^6}{6}+\dfrac{4x^5}{5}+\dfrac{6x^4}{4}+\dfrac{4x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+C=\\\\\\=\dfrac{x^6}{6}+\dfrac{4x^5}{5}+\dfrac{3x^4}{2}+\dfrac{4x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+C$

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла ∫x · (1 + x)^4dx можно использовать метод подстановки. Пусть u = 1 + x, тогда du = dx и x = u - 1. Тогда интеграл примет вид:

∫x · (1 + x)^4dx = ∫(u - 1) · u^4du

Затем можно раскрыть скобки и получить:

∫(u - 1) · u^4du = ∫(u^5 - u^4)du

Далее можно проинтегрировать каждое слагаемое по отдельности, используя формулу:

∫u^n du = u^(n+1)/(n+1) + C, где C - произвольная постоянная.

Тогда получим:

∫(u^5 - u^4)du = u^6/6 - u^5/5 + C

Наконец, можно вернуться к исходной переменной x, подставив u = 1 + x. Тогда ответ будет:

∫x · (1 + x)^4dx = (1 + x)^6/6 - (1 + x)^5/5 + C

Это и есть неопределенный интеграл заданной функции. Вы можете проверить свой ответ, используя онлайн-калькуляторы, например [Symbolab](https://ru.symbolab.com/solver/indefinite-integral-calculator) или [MathDF](https://mathdf.com/int/ru/).