Question

Найдите все решения уравнения x²+5y²+4xy+2y+1=0​

Answer 1

Ответ:

Действительные решения: (2; -1)

Мнимые: $y=\frac{1}{5}(-1\pm\sqrt{-(x-2)^2}-2x} )$

Объяснение:

$\displaystyle x^2+5y^2+4xy+2y+1=0\\5y^2+4xy+2y+x^2+1=0\\5y^2+(4x+2)y+(x^2+1)=0\\y^2+\frac{1}{5}y (4x+2)+\frac{1}{5} (x^2+1)=0\\y^2+\frac{1}{5}y (4x+2)=-\frac{1}{5} (x^2+1)\\y=\frac{-4x-2\pm\sqrt{(4x+2)^2-20(x^2+1)} }{10} \\y=\frac{1}{5}(-1\pm\sqrt{-(x-2)^2}-2x} )$

Уравнение будет иметь действительные корни только если подкоренное выражение больше или равно 0 : $-(x-2)^2\geq 0$. А так как квадрат неотрицателен, то подкоренное выражение не положительно. Но Такое возможно только если оно равно 0. Решим это уравнение:

$-(x-2)^2=0\\(x-2)^2=0\\x-2=0\\x=2$

Подставим это значение в уравнение:

$y=\frac{1}{5}(-1\pm\sqrt{-(x-2)^2}-2x} )\\y=\frac{1}{5}(-1\pm\sqrt{-(2-2)^2}-2*2} )\\y=\frac{1}{5}(-1\pm 0-4} )\\y=\frac{1}{5}(-1-4} )\\y=\frac{1}{5}(-5} )\\y=-1$

Answer 2

Давайте решим это уравнение поэтапно. Уравнение, которое вам дано, является квадратным уравнением относительно переменной x и является квадратичной функцией относительно y. Для начала, давайте перепишем уравнение:

x² + 5y² + 4xy + 2y + 1 = 0

Решение уравнения относительно x:

Для решения уравнения относительно x, мы можем использовать квадратное уравнение. Давайте посмотрим на коэффициенты перед x², x и константный член:

a = 1 b = 4y c = 5y² + 2y + 1

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Подставим значения коэффициентов в эту формулу и решим уравнение.

x = (-(4y) ± √((4y)² - 4(1)(5y² + 2y + 1))) / (2(1))

x = (-4y ± √(16y² - 20y² - 8y - 4)) / 2

x = (-4y ± √(-4y² - 8y - 4)) / 2

x = (-4y ± √((-4)(y² + 2y + 1))) / 2

x = (-4y ± √((-4)(y + 1)²)) / 2

x = (-4y ± 2(y + 1)) / 2

x = -2y ± y + 1

x = -y + 1 или x = -3y + 1

Решение уравнения относительно y:

Теперь давайте решим уравнение относительно y. Мы можем использовать метод подстановки для этого.

Подставим x = -y + 1 в исходное уравнение:

(-y + 1)² + 5y² + 4(-y + 1)y + 2y + 1 = 0

(y² - 2y + 1) + 5y² - 4y² + 4y² - 4y + 4y + 1 + 2y + 1 = 0

y² + 2y + 2 = 0

Это квадратное уравнение относительно y. Мы можем использовать формулу для нахождения корней:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

y = (-(2) ± √((2)² - 4(1)(2))) / (2(1))

y = (-2 ± √(4 - 8)) / 2

y = (-2 ± √(-4)) / 2

y = (-2 ± 2i) / 2

y = -1 ± i

Таким образом, решениями уравнения являются пары значений (x, y):

(x, y) = (-y + 1, -1 + i) и (x, y) = (-3y + 1, -1 - i)

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.