Question

Делится ли произведение всех трехзначных натуральных чисел на 1147 нацело?

Answer 1

В произведении всех трехзначных чисел участвуют числа 310 и 370, которые делятся на 31 и 37 соответственно, а значит и всё произведение трехзначных чисел делится на 31*37=1147.

Answer 2

Для определения, делится ли произведение всех трехзначных натуральных чисел на 1147 нацело, нам нужно разложить 1147 на простые множители и затем проверить, делится ли произведение на все эти множители.

Сначала разложим 1147 на простые множители:

1147 = 7 * 7 * 23

Теперь мы видим, что 1147 разлагается на простые множители 7 и 23.

Далее рассмотрим все трехзначные натуральные числа. Наименьшее трехзначное число - это 100, а наибольшее - 999. Теперь нам нужно определить, сколько трехзначных натуральных чисел делится на 7 и на 23.

1. Для чисел, которые делятся на 7, нам нужно определить диапазон трехзначных чисел, которые делятся на 7. Наименьшее трехзначное число, которое делится на 7, это 105 (7 * 15), а наибольшее - 994 (7 * 142). Теперь мы знаем, что среди трехзначных чисел существует 142 - 15 + 1 = 128 чисел, которые делятся на 7.

2. Для чисел, которые делятся на 23, нам нужно определить диапазон трехзначных чисел, которые делятся на 23. Наименьшее трехзначное число, которое делится на 23, это 115 (23 * 5), а наибольшее - 989 (23 * 43). Таким образом, среди трехзначных чисел существует 43 - 5 + 1 = 39 чисел, которые делятся на 23.

Теперь мы знаем, что существует 128 трехзначных чисел, которые делятся на 7, и 39 трехзначных чисел, которые делятся на 23.

Для того чтобы произведение всех трехзначных натуральных чисел делилось на 1147, каждое из этих чисел должно делиться и на 7, и на 23. Так как 7 и 23 - простые числа, то их наименьшее общее кратное равно их произведению: НОК(7, 23) = 7 * 23 = 161.

Следовательно, каждое из трехзначных чисел, чтобы делиться на 7 и 23, должно делиться на 161. Таким образом, нам нужно найти количество трехзначных чисел, которые делятся на 161.

Диапазон трехзначных чисел, которые делятся на 161, можно найти, разделив наименьшее и наибольшее такие числа на 161:

Наименьшее = 161 (1 * 161) Наибольшее = 966 (6 * 161)

Теперь мы видим, что существует 6 - 1 + 1 = 6 трехзначных чисел, которые делятся на 161.

Итак, произведение всех трехзначных натуральных чисел делится на 7, 23 и 161. Поскольку 7, 23 и 161 являются простыми множителями числа 1147, то произведение таких чисел также делится на 1147 нацело.