Question

X2+y2+15>6x+4*. довести перівність

Answer 1

Ответ:

Для доведення нерівності x^2 + y^2 + 15 > 6x + 4* можна виконати наступні кроки:

1. Перенести всі члени нерівності на одну сторону, щоб отримати рівність:

  x^2 - 6x + y^2 - 4* + 15 > 0

2. Згрупувати члени з x і y:

  (x^2 - 6x) + (y^2 - 4*) + 15 > 0

3. Завершити квадратний біном під дужками для x і y. Для x знайдемо таке число, яке, після додавання його до x^2 - 6x, дасть квадратний біном. Щоб знайти це число, поділимо -6 на 2 (половина коефіцієнта біля x):

  (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 4*) + 15 - 9 > 0

4. Зробимо те ж саме для y, поділимо -4* на 2 (половина коефіцієнта біля y):

  (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 4* + 4*) + 15 - 9 > 0

5. Зведемо квадратні біноми:

  (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + 15 - 9 > 0

6. Віднімемо 9 від 15:

  (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + 6 > 0

7. Тепер ми маємо нерівність в такому вигляді:

  (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + 6 > 0

Ця нерівність вказує на те, що всі точки (x, y), які задовольняють цю умову, знаходяться поза колом радіусом sqrt(6) і центром в точці (3, 2).

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства данного неравенства требуется переписать его в стандартной форме, а затем проанализировать графически или алгебраически.

Имеем: \(x^2 + y^2 + 15 > 6x + 4\)

Перенесем все члены на одну сторону неравенства:

\(x^2 - 6x + y^2 - 4 > -15\)

Затем перепишем его в следующем виде:

\(x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4 > -15 + 9\)

Это представление позволяет нам завершить квадрат для \(x\):

\((x - 3)^2 + y^2 - 4 > -6\)

Теперь можно записать это в более простой форме:

\((x - 3)^2 + y^2 > 2\)

Таким образом, уравнение \(x^2 + y^2 + 15 > 6x + 4\) после нескольких преобразований сводится к \((x - 3)^2 + y^2 > 2\).

Это представляет собой неравенство, описывающее область плоскости, где все точки с координатами \((x, y)\), находящиеся вне окружности с центром в точке \((3, 0)\) и радиусом \(\sqrt{2}\).

Геометрически, это неравенство задает все точки плоскости, находящиеся вне окружности радиуса \(\sqrt{2}\) с центром в точке \((3, 0)\).