Question

Помогите пожалуйста , срочно..... задана функция y=x³+3x².1. исследовать функцию с помощью производной и построить её график.2. найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-4;1].​

Answer 1

Ответ:

все на фото!

наиб=1

наим=-4

Объяснение:

Answer 2

Давайте разберемся с вашими задачами шаг за шагом.

1. Исследование функции с помощью производной:

Для исследования функции \(y = x^3 + 3x^2\), начнем с нахождения её производной. Производная функции показывает нам, как функция меняется при изменении значения \(x\), и она поможет нам найти критические точки, максимумы и минимумы.

Сначала найдем производную \(y\) по \(x\): \[y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2)\]

Для вычисления производной \(y\), используем правила дифференцирования: \[y' = 3x^2 + 6x\]

Теперь у нас есть производная функции \(y\). Мы можем использовать ее, чтобы исследовать функцию.

2. Анализ производной функции:

- Найдем критические точки, где производная равна нулю: \[3x^2 + 6x = 0\] Для нахождения решений этого уравнения, можно вынести общий множитель: \[3x(x + 2) = 0\] Таким образом, получаем две критические точки: \(x = 0\) и \(x = -2\).

- Определим знак производной в интервалах между и за пределами критических точек. Для этого выберем произвольные точки в каждом интервале и подставим их в \(y'\): - Для \(x < -2\), выбираем \(x = -3\): \(y'(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) = 27 - 18 = 9 > 0\). Производная положительна, значит, функция возрастает в этом интервале. - Для \(-2 < x < 0\), выбираем \(x = -1\): \(y'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 < 0\). Производная отрицательна, значит, функция убывает в этом интервале. - Для \(x > 0\), выбираем \(x = 1\): \(y'(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 3 + 6 = 9 > 0\). Производная положительна, значит, функция возрастает в этом интервале.

3. Построение графика функции:

Теперь, когда мы знаем, как меняется производная функции \(y\), мы можем построить график функции \(y = x^3 + 3x^2\). График будет выглядеть следующим образом:

- Минимум функции находится в точке \((0, 0)\). - Максимум функции находится в точке \((-2, -8)\).

4. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке \([-4;1]\):

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на этом отрезке, мы должны вычислить значения функции в его конечных точках (\(x = -4\) и \(x = 1\)) и в критических точках (\(x = -2\) и \(x = 0\)).

- \(y(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 = -64 + 48 = -16\) - \(y(1) = (1)^3 + 3(1)^2 = 1 + 3 = 4\) - \(y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4\) - \(y(0) = (0)^3 + 3(0)^2 = 0\)

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке \([-4;1]\) равно -16 и достигается в точке \((-4, -16)\), а наибольшее значение равно 4 и достигается в точке \((1, 4)\).