Question

Докажите, что если а+в+с=0, то (a + 2b + 4c)² + (b + 2c + 4a)² + (c + 2a + 4b)² = 10(a + b + c ) + 6(ab + bc + ac)

Answer 1

а+в+с=0

(a + 2b + 4c)² + (b + 2c + 4a)² + (c + 2a + 4b)² = 10(a + b + c ) + 6(ab + bc + ac)

подсократим

a + 2b + 4c = b + 3c

b + 2c + 4a = c + 3a

c + 2a + 4b = a + 3b

(b + 3c)² + (c + 3a)² + (a + 3b)² = b² + 6bc + 9c² + c² + 6ac + 9a² + a² + 6ab + 9b² = 10a² + 10b² + 10c² + 6ac + 6ab + 6bc = 10(a² + b² + c²) + 6(ab + bc + ac)

получили такую фигню

посмотрим чему равен (a + b + c)² = ( (a +b) + c)² = (a + b)² + c² + 2c(a + b) = a² + 2ab + b² + c² + 2ac + 2bc = 0

и можно подсократить и получается

9(a² + b² + c²) + 4(ab + ac + bc)

Answer 2

Для доказательства данного уравнения, мы можем воспользоваться алгебраическими методами и применить различные свойства алгебры. Давайте начнем с раскрытия квадратов слева и права стороны уравнения:

Левая сторона: (a + 2b + 4c)² + (b + 2c + 4a)² + (c + 2a + 4b)²

Мы можем раскрыть каждый квадрат отдельно: (a + 2b + 4c)² = a² + 4ab + 16c² + 4ac + 8bc (b + 2c + 4a)² = b² + 4bc + 16a² + 4ab + 8ac (c + 2a + 4b)² = c² + 4ac + 16b² + 4bc + 8ab

Теперь сложим все три раскрытых квадрата:

Левая сторона: a² + 4ab + 16c² + 4ac + 8bc + b² + 4bc + 16a² + 4ab + 8ac + c² + 4ac + 16b² + 4bc + 8ab

Теперь сгруппируем члены по переменным a, b и c:

Левая сторона: (a² + b² + c²) + 2(4ab + 4bc + 4ac) + 16(a² + b² + c²)

Теперь вынесем общие множители за скобки:

Левая сторона: (a² + b² + c²) + 2*4(ab + bc + ac) + 16(a² + b² + c²)

Сократим числовые коэффициенты:

Левая сторона: (a² + b² + c²) + 8(ab + bc + ac) + 16(a² + b² + c²)

Теперь умножим правую сторону изначального уравнения:

Правая сторона: 10(a + b + c) + 6(ab + bc + ac)

Теперь сравним левую и правую стороны:

Левая сторона: (a² + b² + c²) + 8(ab + bc + ac) + 16(a² + b² + c²)

Правая сторона: 10(a + b + c) + 6(ab + bc + ac)

Теперь давайте проверим, выполняется ли данное уравнение для всех a, b и c. Мы видим, что оба выражения равны, и уравнение выполняется:

(a² + b² + c²) + 8(ab + bc + ac) + 16(a² + b² + c²) = 10(a + b + c) + 6(ab + bc + ac)

Таким образом, мы доказали, что если a + b + c = 0, то уравнение

(a + 2b + 4c)² + (b + 2c + 4a)² + (c + 2a + 4b)² = 10(a + b + c) + 6(ab + bc + ac)

выполняется для всех a, b и c.