Question

У уравнений x^2+2019ax+b=0 и x^2+2019bx+a=0 есть один общий корень. Чему может быть равен этот корень, если известно, что a не равно b (подробное решение пожалуйста).

Answer 1

Приравнивая уравнения, мы получим

$x^2+2019ax+b=x^2+2019bx+a\\ 2019ax-2019bx+b-a=0\\ 2019x(a-b)-(a-b)=0\\ (a-b)(2019x-1)=0$

По условию, a - b ≠ 0. Тогда искомый корень ищем из уравнения

2019x - 1 = 0

x = 1/2019

Ответ: 1/2019.

Answer 2

Пусть общий корень уравнений x^2 + 2019ax + b = 0 и x^2 + 2019bx + a = 0 равен k.

Тогда, подставляя k в первое уравнение, получим: k^2 + 2019ak + b = 0

Аналогично, подставляя k во второе уравнение, получим: k^2 + 2019bk + a = 0

Вычтем второе уравнение из первого: (k^2 + 2019ak + b) - (k^2 + 2019bk + a) = 0 - 0 2019ak - 2019bk + b - a = 0 2019a(k - b) + (b - a) = 0

Так как a ≠ b, то (k - b) ≠ 0. Поэтому, можно разделить на (k - b): 2019a + 1 = 0 2019a = -1 a = -1/2019

Таким образом, общий корень уравнений x^2 + 2019ax + b = 0 и x^2 + 2019bx + a = 0 может быть равен -1/2019 при условии, что a ≠ b.