Question

Помогите решить уравнения по тригонометрии, желательно с объяснением, как можно скорее!!! 1)sin^2x-4sinxcosx+3cos^2x=0 2)sin5xsin4x+cos6xcos3x=0 3)2sin^2x+3sinxcosx-2cos^2x=0 4)cos6xcos12x=cos8xcos10x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$1)sin^2(x)-4sin(x)cos(x)+3cos^2(x)=0tg^2(x)-4tg(x)+3=0\\x\neq \frac{\pi }{2}+\pi k\\tg(x)=t=>t^2-4t+3=0=>t=1;t=3=>tg(x)=1=>x=\frac{\pi }{4}+ +\pi k\\tg(x)=3=>arctg(3)+\pik\\2)sin(5x)sin(4x)+cos(6x)cos(3x)=0\frac{cos(x)-cos(9x)}{2}+\frac{cos(3x)+cos(9x)}{2}=0\\\frac{cos(x)+cos(3x)}{2}=0cos(2x)cos(x)=0=>x=\frac{\pi }{2}+\pi k\\ x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2} \\3)2sin^2(x)+3sin(x)cos(x)-3cos^2(x)=02tg^2(x)+3tg(x)-2=0\\x\neq \frac{\pi }{2}+\pi k\\2t^2+3t-2=0=>t=-2;t=\frac{1}{2}$

$tg(x)=-2=>x=-arctg(2)+\pi k\\tg(x)=\frac{1}{2} =>x=arctg(\frac{1}{2} )+\pi k\\4)cos(6x)cos(12x)=cos(8x)cos(10x)0,5(cos(6x)+cos(18x))=0,5(cos(2x)+cos(18x))\\cos(6x)=cos(2x)sin(4x)sin(2x)=0=>x=\frac{\pi k}{4}$

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди и попробуем решить их.

1) Уравнение sin^2(x) - 4sin(x)cos(x) + 3cos^2(x) = 0: Для начала, воспользуемся тригонометрическими тождествами. Заметим, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, и также, у нас есть формула для sin(2x): sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Мы можем использовать эти тождества для упрощения уравнения:

sin^2(x) - 4sin(x)cos(x) + 3cos^2(x) = 0 (sin^2(x) + cos^2(x)) - 4sin(x)cos(x) = 0 1 - 4sin(x)cos(x) = 0

Теперь у нас есть уравнение вида 1 - 4sin(x)cos(x) = 0. Мы можем решить его, выразив sin(2x):

1 - 4sin(x)cos(x) = 0 4sin(x)cos(x) = 1 sin(2x) = 1/4

Теперь, чтобы найти x, мы можем воспользоваться обратной функцией синуса:

2x = arcsin(1/4)

Теперь найдем значение arcsin(1/4) и разделим его на 2:

2x = arcsin(1/4) 2x ≈ 14.48 градусов

Таким образом, x ≈ 7.24 градусов.

2) Уравнение sin(5x)sin(4x) + cos(6x)cos(3x) = 0: Для решения этого уравнения, мы можем воспользоваться формулой для cos(α-β), где α = 5x и β = 4x:

cos(α-β) = cos(5x-4x) = cos(x)

Таким образом, наше уравнение может быть переписано следующим образом:

cos(x) = 0

Теперь, чтобы найти x, мы можем воспользоваться обратной функцией косинуса:

x = arccos(0)

Значение arccos(0) равно 90 градусов или π/2 радиан.

3) Уравнение 2sin^2(x) + 3sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 0: Для решения этого уравнения, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для sin(2x) и cos(2x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Теперь подставим эти тождества в уравнение:

2sin^2(x) + 3sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 0 2(sin(2x) + sin(x)cos(x)) - 2(cos(2x)) = 0

Теперь у нас есть уравнение с cos(2x) и sin(2x). Мы можем использовать формулу для cos(2x):

2(2sin(x)cos(x) + sin(x)cos(x)) - 2(cos^2(x) - sin^2(x)) = 0

Упростим:

4sin(x)cos(x) + 2sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) + 2sin^2(x) = 0

4sin(x)cos(x) + 2sin(x)cos(x) - 2 = 0

6sin(x)cos(x) = 2

sin(2x) = 1/3

Теперь, чтобы найти x, мы можем воспользоваться обратной функцией синуса:

2x = arcsin(1/3)

2x ≈ 19.47 градусов

Таким образом, x ≈ 9.73 градусов.

4) Уравнение cos(6x)cos(12x) = cos(8x)cos(10x): Для решения этого уравнения, давайте воспользуемся формулой для cos(α-β), где α = 6x и β = 12x:

cos(α-β) = cos(6x-12x) = cos(-6x) = cos(6x)

Таким образом, наше уравнение может быть переписано следующим образом:

cos(6x) = cos(8x)cos(10x)

Теперь мы знаем, что cos(α) = cos(β)cos(γ) если α = β + γ или α = β - γ. Таким образом:

6x = 8x + 10x или 6x = 8x - 10x

Первое уравнение:

6x = 18x x = 0

Второе уравнение:

6x = -2x 8x = 0 x = 0

Итак, в обоих случаях x = 0.

Таким образом, мы решили все четыре уравнения.