Question

Найти все решения уравнения (2|x|-1)²=|x| , принадлежащие области определения функции y=lg(4x-1) Помогите решить , со всеми подробностями

Answer 1

Область определения функции y=lg(4x-1): 4x-1>0 откуда x>1/4.

$(2|x|-1)^2=|x|\\ 4x^2-4|x|+1=|x|\\ 4x^2-5|x|+1=0$

Если $x\geq 0$, то $4x^2-5x+1=0$

$D=25-16=9\\ x_1=\frac{5+3}{8} =1\\ x_2=\frac{5-3}{8}=0.25~~~\notin~~~ (0.25;+\infty)$

Случай $x$ можно не рассматривать, ведь корни будут отрицательными и не удовлетворяют неравенству x>1/4

Ответ: 1.

Answer 2

(2|x|-1)²=|x|

4|x|²-4|x|+1=|x|

4|x|²-5|x|+1=0

|x|=t

4t²-5t+1=0

(4t-1)(t-1)=0

Отсюда

t-1=0, t=1 и 4t-1=0, t=1/4

Тогда

|x|=1 => x=-1, x=1

|x|=1/4, x=-1/4, x=1/4

Ищем ООП функции lg(4x-1):

4x-1>0

4x>1

x>1/4

Значит, при ограничении x>1/4 уравнение будет иметь лишь один корень - x=1.

Answer 3

Для начала, определим область определения функции y=lg(4x-1). Логарифм можно вычислить только для положительных аргументов, поэтому необходимо, чтобы выражение внутри логарифма (4x-1) было больше 0:

4x-1 > 0

4x > 1

x > 1/4

Таким образом, область определения функции y=lg(4x-1) состоит из всех чисел x, больших 1/4.

Теперь решим уравнение (2|x|-1)² = |x|. Для удобства введем вспомогательную переменную t = |x|, которую мы можем считать положительной.

Тогда уравнение примет вид (2t-1)² = t.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

4t² - 4t + 1 = t.

Перенесем все члены влево:

4t² - 5t + 1 = 0.

Решим это квадратное уравнение методом дискриминанта.

Дискриминант D равен:

D = b² - 4ac = (-5)² - 4(4)(1) = 25 - 16 = 9.

Так как D > 0, у уравнения есть два действительных корня.

Формула для нахождения корней дает нам:

t₁,₂ = (-b ± √D) / (2a) = (-(-5) ± √9) / (2*4) = (5 ± 3) / 8.

Таким образом, имеем два возможных значения для t: t₁ = (5+3) / 8 = 1 и t₂ = (5-3) / 8 = 1/4.

Применим обратное преобразование и найдем соответствующие значения для x:

Для t₁ = 1:

|x| = 1.

Если x положительный, то x = 1.

Если x отрицательный, то x = -1.

Для t₂ = 1/4:

|x| = 1/4.

Если x положительный, то x = 1/4.

Если x отрицательный, то x = -1/4.

Таким образом, находим следующие решения уравнения (2|x|-1)² = |x|:

x₁ = 1, x₂ = -1, x₃ = 1/4, x₄ = -1/4.

Из найденных решений выбираем только те, которые принадлежат области определения функции y=lg(4x-1), то есть x > 1/4.

Таким образом, окончательными решениями уравнения будут:

x₁ = 1, x₂ = 1/4.

Можно проверить, что подставив эти значения в исходное уравнение, мы получим верное равенство.