Question

( Сумма трех чисел, которые образуют растущую арифметическую прогрессию, равна 45. Если от первого числа вычесть 5, второе оставить без изменений, а к третьему добавить 25, то получим геометрическую прогрессию. Найдите эти числа. ) Сума трьох чисел, які утворюють зростаючу арифметичну прогресію, дорівнює 45. Якщо від першого числа відняти 5, друге залишити без змін, а до третього додати 25, то отримаємо геометричну прогресію. Знайдіть ці числа.

Answer 1

А₁ + а₂ + а₃ = 45
а₁ + а₁+d + а₁ + 2d = 45
3а₁ + 3d = 45
3(а₁+d) = 45
а₁ + d =15  ⇒ a₂ = 15 

Если а₂ = 15, тогда:
а₁ = 15-d 
а₃ = 15+d 
Вычтем от первого числа 5:
15 - d - 5 = 10-d
Прибавим к третьему числу 25:
15 + d + 25 = 40+d    

По свойству геометрической прогрессии:
(40+d)/15 = 15/(10-d)
(40+d)(10-d) = 15²
400 - 40d + 10d - d² = 225
-d² - 30d + 175 = 0
d² + 30d - 175 = 0
D = 900 + 700 = 1600 = 40²
d₁ = (-30-40)/2 = -35  не подходит по условию (прогрессия возрастающая)
d₂ = (-30+40)/2 = 5

разность прогрессии равна 5, тогда:
а₁ = 15 - 5 = 10
а₃ = 15 + 5 = 20

Ответ: 10, 15, 20

Answer 2

1) Для арифметической прогрессии:  
х - первое число
(х+d) - второе число
(х+2d) - третье число

По условию их сумма равна 45, получаем уравнение:
х + (х+d) + (х+2d) = 45
3х + 3d = 45
х + d = 15  
ОДЗ: d>0
Так как x+d - это второе число, получается, что второе число равно 15. 

2)
(х-5) - первое число геометрической прогрессии
(х+d) = 15 - второе число
х+2d+25 = (х+d)+d+25 = 15+d+25= (40+d) - третье число геометрической прогрессии

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии и получим второе уравнение: 
15² = (x-5)·(d+40)
225 = (x-5)·(d+40)

3)
Из первого уравнения (x+d) = 15 выразим d = 15-x.

4) Во второе уравнение вместо d подставим (15-x)

225 = (x-5)·(15-x+40)
225 = (х-5)·(55-х)
225 = (х-5)(55-х)
225 = 55х-275-х²+5х
х² - 60х  + 500= 0

ОДЗ: d>0
D = b²-4ac
D=3600-4·1·500= 3600-2000=1600
√D = √1600 = 40
x₁ = (60+40)/2 = 100/2= 50
x₂ = (60-40)/2 = 20/2 = 10

С помощью уравнения d = 15 - х находим d.

При х₁ = 50 получаем d₁ = 15 - 50 = - 35 не подходит, т.к прогрессия возрастающая

При х₂ = 10 получаем d₁ = 15 - 10 = 5 

Итак, при х = 10  и d = 5 получаем искомые числа: 
 10;  15; 20,  образующих арифметическую прогрессию.

Проверим:
10-5 = 5  - первое число геометрической прогрессии
15 - второе
20+25 = 45 - третье
15 : 5 = 45 : 15
       3 = 3 верное равенство
Ответ: 10;  15; 20

Answer 3

Давайте розв'яжемо цю задачу крок за кроком для обох варіантів мови.

1. Українська мова: Позначимо перше число у ростущій арифметичній прогресії як \(a\). Тоді друге число буде \(a + d\), а третє число \(a + 2d\), де \(d\) - різниця між числами прогресії.

Ми знаємо, що сума цих трьох чисел дорівнює 45:

\[a + (a + d) + (a + 2d) = 45\] \[3a + 3d = 45\] \[a + d = 15\] (1)

Далі за другою умовою:

\[(a - 5) \cdot (a + 25) = (a + d)^2\]

Розгорнемо ліву частину:

\[a^2 + 25a - 5a - 125 = a^2 + 2ad + d^2\]

Спростимо:

\[20a - 125 = 2ad + d^2\] (2)

Тепер з системи рівнянь (1) і (2) можна знайти \(a\) та \(d\).

2. Російська мова: Позначимо перше число у ростущій арифметичній прогресії як \(a\). Тоді друге число буде \(a + d\), а третє число \(a + 2d\), де \(d\) - різниця між числами прогресії.

Ми знаємо, що сума цих трьох чисел дорівнює 45:

\[a + (a + d) + (a + 2d) = 45\] \[3a + 3d = 45\] \[a + d = 15\] (1)

Далі за другою умовою:

\[(a - 5) \cdot (a + 25) = (a + d)^2\]

Розгорнемо ліву частину:

\[a^2 + 25a - 5a - 125 = a^2 + 2ad + d^2\]

Спростимо:

\[20a - 125 = 2ad + d^2\] (2)

Тепер з системи рівнянь (1) і (2) можна знайти \(a\) та \(d\).

Оскільки умови задачі тотожні для обох мов, результат буде однаковий, і я можу продовжити знайти значення \(a\) та \(d\) для вас. Давайте розв'яжемо рівняння (1) і (2).