Question

Пусть f(x) = - x² + x + 2 задайте аналитически функцию: y = f(x + 2), y = f(x) - 3, y = 5 - f(x) для каждой функции найдите: 1) множество значений; 2) точку пересечения с осью ординат; 3) нули

Answer 1

$f(x)=-x^2+x+2\\\\1)\ \ y=f(x+2)=-(x+2)^2+(x+2)+2=-(x^2+4x+4)+x+2+2=-x^2-3x\\\\y=-x^2-3x\ \ ,\\\\a)\ \ x_{versh.}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-3}{2}=-1,5\ \ ,\ \ y_{versh.}=y(-1,5)=2,25\\\\E(y)=[\ 2,25\, ;+\infty )\\\\b)\ \ x=0:\ y(0)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ A(0;8)\\\\c)\ \ y=0:\ -x^2-3x=0\ \ ,\ \ -x(x+3)=0\ \ ,\ \ x_1=0\ ,\ x_2=-3\ ,\\\\B(0;0)\ ,\ \ C(-3;0)$

$2)\ \ y=f(x)-3\ \ \ \Rightarrow \ \ y=(-x^2+x+2)-3\ \ ,\ \ y=-x^2+x-1\\\\a)\ \ x_{versh.}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-1}{-2}=-\dfrac{1}{2} \ \ ,\ \ y_{versh.}=-1,75\\\\E(y)=(-\infty \, ;-1,75\, ]\\\\b)\ \ x=0:\ y(0)=-1\ \ \Rightarrow \ \ A(0;-1)\\\\c)\ \ y=0:\ \ -x^2+x-1=0\ \ ,\ \ x^2-x+1=0\ ,\ \ D=1-4=-3$

нулей у функции нет, т.к. парабола находится ниже оси ОХ.

$3\ \ y=5-f(x)\ \ \ \Rightarrow \ \ y=5-(-x^2+x+2)-\ \ ,\ \ y=x^2-x+3\\\\a)\ \ x_{versh.}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-1}{2}=\dfrac{1}{2} \ \ ,\ \ y_{versh.}=y(0,5)=2,75\\\\E(y)=[\ 2,75\ ;\, +\infty \, )\\\\b)\ \ x=0:\ y(0)=3\ \ \Rightarrow \ \ A(\, 0\, ;\, 3\, )\\\\c)\ \ y=0:\ \ x^2-x+3=0\ \ ,\ \ D=1-12=-11$

нулей у функции нет, т.к. парабола лежит выше оси ОХ.

Answer 2

1) Множество значений для каждой функции:

- Для функции y = f(x+2), мы можем заменить каждое вхождение x на (x+2), получая y = f(x+2) = -(x+2)² + (x+2) + 2. Мы можем раскрыть скобки и упростить выражение: y = -x² - 4x - 2. Таким образом, множество значений функции y = f(x+2) - это множество всех действительных чисел.

- Для функции y = f(x) - 3, мы можем просто вычесть 3 из значения функции f(x). Таким образом, множество значений функции y = f(x) - 3 будет также являться множеством всех действительных чисел.

- Для функции y = 5 - f(x), мы можем вычесть значение функции f(x) из 5. Множество значений функции y = 5 - f(x) также будет являться множеством всех действительных чисел.

2) Точка пересечения с осью ординат:

- Для функции y = f(x+2), чтобы найти точку пересечения с осью ординат, мы должны найти значение y, когда x = 0. Подставляя x = 0 в выражение y = -x² - 4x - 2, получаем y = -2. Таким образом, точка пересечения с осью ординат для функции y = f(x+2) будет (0, -2).

- Для функции y = f(x) - 3, чтобы найти точку пересечения с осью ординат, мы должны найти значение y, когда x = 0. Подставляя x = 0 в выражение y = -x² - x + 2 - 3, получаем y = -1. Таким образом, точка пересечения с осью ординат для функции y = f(x) - 3 будет (0, -1).

- Для функции y = 5 - f(x), чтобы найти точку пересечения с осью ординат, мы должны найти значение y, когда x = 0. Подставляя x = 0 в выражение y = 5 - (-x² - x + 2), получаем y = 7. Таким образом, точка пересечения с осью ординат для функции y = 5 - f(x) будет (0, 7).

3) Нули функции:

- Чтобы найти нули функции y = f(x+2), мы должны найти значения x, при которых y = 0. Подставляя y = 0 в выражение -x² - 4x - 2, мы получаем квадратное уравнение -x² - 4x - 2 = 0. Решая это уравнение, мы получаем два значения x ≈ -4.37 и x ≈ 0.37. Таким образом, нули функции y = f(x+2) будут примерно (-4.37, 0) и (0.37, 0).

- Чтобы найти нули функции y = f(x) - 3, мы должны найти значения x, при которых y = 0. Подставляя y = 0 в выражение -x² - x + 2 - 3, мы получаем квадратное уравнение -x² - x - 1 = 0. Решая это уравнение, мы получаем два значения x ≈ -1.62 и x ≈ 0.62. Таким образом, нули функции y = f(x) - 3 будут примерно (-1.62, 0) и (0.62, 0).

- Чтобы найти нули функции y = 5 - f(x), мы должны найти значения x, при которых y = 0. Подставляя y = 0 в выражение 5 - (-x² - x + 2), мы получаем квадратное уравнение x² + x - 7 = 0. Решая это уравнение, мы получаем два значения x ≈ -2.79 и x ≈ 1.79. Таким образом, нули функции y = 5 - f(x) будут примерно (-2.79, 0) и (1.79, 0).