Question

Найти производную функции y = tg^2(ln(x^2+1)

Answer 1

.......................

Answer 2

Для нахождения производной функции, сначала разобьем ее на несколько частей.

Пусть f(x) = tg^2(ln(x^2+1)+3).

1. Рассмотрим внешнюю функцию: f(x) = tg^2(u), где u = ln(x^2+1)+3. По правилу дифференцирования сложной функции, производная внешней функции равна произведению производной внешней функции по ее аргументу и производной аргумента по x. Таким образом, производная внешней функции равна: f'(x) = 2tg(u) * tg'(u), где tg'(u) - производная тангенса от u.

2. Теперь найдем производную аргумента u = ln(x^2+1)+3. Производная суммы двух функций равна сумме их производных. Таким образом, производная u равна сумме производных ln(x^2+1) и 3.

3. Найдем производную ln(x^2+1). По правилу дифференцирования натурального логарифма, производная ln(f(x)) равна производной f(x) по x, деленной на f(x). Таким образом, производная ln(x^2+1) равна (2x)/(x^2+1).

4. Таким образом, производная аргумента u равна сумме производной ln(x^2+1) и 3: u' = (2x)/(x^2+1) + 0 = (2x)/(x^2+1).

5. Найдем производную тангенса от u. По правилу дифференцирования тангенса, производная tg(f(x)) равна производной f(x) по x, деленной на (cos(f(x)))^2. Таким образом, производная tg(u) равна ((2x)/(x^2+1))/(cos(u))^2.

6. Объединим все полученные результаты: f'(x) = 2tg(u) * tg'(u) = 2tg(u) * ((2x)/(x^2+1))/(cos(u))^2 = 2tg(ln(x^2+1)+3) * ((2x)/(x^2+1))/(cos(ln(x^2+1)+3))^2

Таким образом, производная функции f(x) равна: f'(x) = 2tg(ln(x^2+1)+3) * ((2x)/(x^2+1))/(cos(ln(x^2+1)+3))^2